Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Bei einer Naturkostkette besitzen die meisten Kundinnen und Kunden ein Konto für Online-Bestellungen. Im Folgenden werden ausschließlich diese Personen betrachtet. $72\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre. $18\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\,\%$. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Personen die Anzahl derjenigen, die in einer Großstadt wohnen, binomialverteilt ist.

2 Eine Abfüllanlage der Naturkostkette füllt veganen Brotaufstrich in Gläser ab, auf denen als Füllmenge „250 g“ aufgedruckt ist. Die tatsächliche Füllmenge kann jedoch von der auf dem Glas aufgedruckten Füllmenge abweichen. Um festzulegen, welche Abweichungen der tatsächlichen von der aufgedruckten Füllmenge toleriert werden, wird die sogenannte Minusabweichung verwendet. Bei einer aufgedruckten Füllmenge von 250 Gramm beträgt die Minusabweichung 4,5 Gramm.

Die Gläser können gemäß einer Richtlinie mit der in der Abbildung 1 dargestellten Füllmengenkennzeichnung versehen werden, wenn drei Bedingungen erfüllt sind. Diese können modellhaft wie folgt formuliert werden:

Die tatsächliche Füllmenge der Gläser in Gramm wird als Zufallsgröße betrachtet.

Bedingung I: Der Erwartungswert der tatsächlichen Füllmenge in Gramm liegt nicht unter der aufgedruckten Füllmenge.

Bedingung II: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens eine Minusabweichung nach unten abweicht, beträgt höchstens 6 %.

Bedingung III: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens zwei Minusabweichungen nach unten abweicht, beträgt höchstens 0,2 %.

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Die tatsächliche Füllmenge der Gläser ist normalverteilt mit der Dichtefunktion $$\varphi(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-250}{2}\right)^2}$$, wobei $x$ die tatsächliche Füllmenge eines Glases in Gramm beschreibt. Untersuchen Sie, ob jede der drei Bedingungen erfüllt ist. [5 BE]

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Eine weitere Produktion von Gläsern mit einer aufgedruckten Füllmenge von 250 Gramm stammt von einer anderen Abfüllanlage für vegane Brotaufstriche. Die tatsächliche Füllmenge in Gramm ist normalverteilt mit den Parametern $\mu = 250$ und $\sigma$.

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Wenn diese Produktion die Bedingung II erfüllt, dann erfüllt sie auch die Bedingung III.

[6 BE]