Aufgabe 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR)

3 Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen. Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid als Ausschussmitglieder bestimmt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$. [3 BE]

b)

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgrößen $X$ bzw. $Y$.

Die Zufallsgröße $X$ besitzt den Erwartungswert $2$ und die Varianz $\frac{6}{11}$. Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 3$ und $p = \frac{2}{3}$. Zeigen Sie rechnerisch, dass $Y$ den gleichen Erwartungswert wie die Zufallsgröße $X$, aber eine größere Varianz als $X$ besitzt. Beschreiben Sie, woran man an den Abbildungen 1 und 2 erkennen kann, dass $\operatorname{Var}(Y) > \operatorname{Var}(X)$ gilt. [4 BE]