Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Binomialverteilung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Dabei betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

a) Eine Fahrschulkette rechnet am Standort Düsseldorf für 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$E1$: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

$E2$: „Es werden mindestens 80 % der praktischen Prüfungen bestanden.“

$E3$: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

(2)

Im Weiteren sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \le k \le 250$.

(i)

Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge k)$ dafür, dass mindestens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii)

Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit verhält, wenn man den Wert von $k$ variiert.

(iii)

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll höchstens 60 % betragen. Ermitteln Sie, welchen kleinsten Wert $k$ dafür annehmen muss.