Aufgabe WTR 1 · 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · Teil B · Stochastik (WTR) (2020)

Aufgabenstellung

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

3 Bei der Jubiläumsfeier können die CDs sowohl zu einem Preis von 9 Euro pro Stück gekauft als auch bei einem Spiel gewonnen werden. Für das Spiel wird ein Glücksrad mit einem grauen und einem weißen Sektor verwendet (vgl. Abbildung). Für einen Einsatz von einem Euro wird das Glücksrad dreimal gedreht. Nur wenn dabei genau zweimal der grau markierte Sektor getroffen wird, erhält man eine CD. Die Größe des Öffnungswinkels des grauen Sektors im Bogenmaß wird mit bb bezeichnet.

a)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel eine CD zu erhalten, mithilfe des Terms 34π2b2−38π3b3\frac{3}{4\pi^2}b^2 - \frac{3}{8\pi^3}b^3 berechnet werden kann. [4 BE]

b)

Es gibt Werte von bb, für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD. Geben Sie eine Gleichung an, mit der diese Werte von bb berechnet werden könnten. [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 1 · 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel eine CD zu erhalten, mithilfe des Terms 3/(4π²) b² - 3/(8π³) b³ berechnet werden kann.

Lösung: (32)⋅(b2π)2⋅(1−b2π)=3⋅b24π2⋅(1−b2π)=34π2b2−38π3b3\binom{3}{2} \cdot \left(\frac{b}{2\pi}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{b}{2\pi}\right) = 3 \cdot \frac{b^2}{4\pi^2} \cdot \left(1 - \frac{b}{2\pi}\right) = \frac{3}{4\pi^2}b^2 - \frac{3}{8\pi^3}b^3

b) Geben Sie eine Gleichung an, mit der diese Werte von b berechnet werden könnten.

Lösung: 34π2b2−38π3b3=19\frac{3}{4\pi^2}b^2 - \frac{3}{8\pi^3}b^3 = \frac{1}{9}

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