Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · Teil B · Stochastik (WTR) (2025)

Aufgabenstellung

2 Eine Abfüllanlage der Naturkostkette füllt veganen Brotaufstrich in Gläser ab, auf denen als Füllmenge „250 g“ aufgedruckt ist. Die tatsächliche Füllmenge kann jedoch von der auf dem Glas aufgedruckten Füllmenge abweichen. Um festzulegen, welche Abweichungen der tatsächlichen von der aufgedruckten Füllmenge toleriert werden, wird die sogenannte Minusabweichung verwendet. Bei einer aufgedruckten Füllmenge von 250 Gramm beträgt die Minusabweichung 4,5 Gramm.

Die Gläser können gemäß einer Richtlinie mit der dargestellten Füllmengenkennzeichnung versehen werden, wenn drei Bedingungen erfüllt sind. Diese können modellhaft wie folgt formuliert werden:

Die tatsächliche Füllmenge der Gläser in Gramm wird als Zufallsgröße betrachtet.

Bedingung I: Der Erwartungswert der tatsächlichen Füllmenge in Gramm liegt nicht unter der aufgedruckten Füllmenge.

Bedingung II: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens eine Minusabweichung nach unten abweicht, beträgt höchstens 6 %.

Bedingung III: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens zwei Minusabweichungen nach unten abweicht, beträgt höchstens 0,2 %.

a)

Die tatsächliche Füllmenge der Gläser ist normalverteilt mit der Dichtefunktion

φ(x)=122π⋅e−12(x−2502)2\varphi(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-250}{2}\right)^2}

wobei xx die tatsächliche Füllmenge eines Glases in Gramm beschreibt. Untersuchen Sie, ob jede der drei Bedingungen erfüllt ist. [5 BE]

Bedingung I: Ist Bedingung I erfüllt?

Ja

Nein

Bedingung II: Ist Bedingung II erfüllt?

Ja

Nein

Bedingung III: Ist Bedingung III erfüllt?

Ja

Nein

b)

Eine weitere Produktion von Gläsern mit einer aufgedruckten Füllmenge von 250 Gramm stammt von einer anderen Abfüllanlage für vegane Brotaufstriche. Die tatsächliche Füllmenge in Gramm ist normalverteilt mit den Parametern μ=250\mu = 250 und σ\sigma.

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

„Wenn diese Produktion die Bedingung II erfüllt, dann erfüllt sie auch die Bedingung III.“

[6 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Beurteilung der Erfüllung der Bedingungen I, II und III

Lösung: Bedingung I: Ja; Bedingung II: Ja; Bedingung III: Ja

a) Begründung zu Bedingung I

Lösung: Aus der Dichtefunktion folgt μ=250\mu = 250. Damit ist μ≥250\mu \ge 250 erfüllt.

a) Berechnung / Begründung zu Bedingung II

Lösung: P(Y≤245,5)≈0,012<0,06P(Y \le 245{,}5) \approx 0{,}012 < 0{,}06

a) Berechnung / Begründung zu Bedingung III

Lösung: P(Y≤241)≈0,000003<0,002P(Y \le 241) \approx 0{,}000003 < 0{,}002

b) Begründen Sie: „Wenn diese Produktion die Bedingung II erfüllt, dann erfüllt sie auch die Bedingung III.“

Lösung: ZZ: Tatsächliche Füllmenge des Glases in Gramm, Z∼N(250,σ2)Z \sim \mathcal{N}(250, \sigma^2). Aus P(Z<245,5)<0,06P(Z < 245{,}5) < 0{,}06 erhält man durch systematisches Probieren, dass σ<3\sigma < 3 ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine mit dem Erwartungswert von 250 und einer Standardabweichung von 3 normalverteilte Zufallsgröße Werte im Intervall ]−∞;241]]-\infty; 241] annimmt, beträgt etwa 0,001350{,}00135. P(Z<241)<0,00135<0,002P(Z < 241) < 0{,}00135 < 0{,}002.

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