Aufgabe 1 - Teilaufgaben a bis c · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2019)

Aufgabenstellung

1 Aufgabe

In einem Land, in dem 80 % der Erwachsenen einen Führerschein besitzen, werden 200 Erwachsene zufällig ausgewählt. Es soll angenommen werden, dass dabei die Anzahl der ausgewählten Erwachsenen, die einen Führerschein besitzen, binomialverteilt ist.

a

Begründen Sie, dass die beschriebene Annahme gerechtfertigt ist.

b

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Erwachsenen, die einen Führerschein besitzen, vom Erwartungswert für diese Anzahl um höchstens 5 %5\,\% abweicht.

c

Ermitteln Sie, wie groß die Anzahl der ausgewählten Erwachsenen mindestens sein müsste, damit von diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 %90\,\% mehr als 160160 einen Führerschein besitzen.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Teilaufgaben a bis c · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Begründen Sie, dass die beschriebene Annahme gerechtfertigt ist.

Lösung: Die Anzahl aller Erwachsenen ist im Vergleich zur Anzahl der ausgewählten Personen sehr groß. Deshalb sind für die 200 Erwachsenen die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die jeweilige Person einen Führerschein besitzt, nahezu gleich groß.

b Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Erwachsenen, die einen Führerschein besitzen, vom Erwartungswert für diese Anzahl um höchstens 5 % abweicht.

Lösung: 86,8 % / 0,868

c Ermitteln Sie, wie groß die Anzahl der ausgewählten Erwachsenen mindestens sein müsste, damit von diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mehr als 160 einen Führerschein besitzen.

Lösung: 210

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