Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Aufgabe B4 – E-Scooter

Zugelassene Hilfsmittel: CAS, Formelsammlung, Wörterbücher.

a)

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen E-Scooter werden privat genutzt. Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

Tage

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers beträgt die mittlere Nutzungsdauer 120 Tage. Ermitteln Sie, welchen Anteil seiner Produktion dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

%

b)

Alle Personen, die gelegentlich einen E-Scooter benutzen, werden in dieser Aufgabe als E-Scooter-Nutzende bezeichnet. Vereinfachend wird im Folgenden davon ausgegangen, dass die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig ausgewählten Personengruppe angibt, binomialverteilt ist. E-Scooter werden vor allem in Großstädten benutzt. In einer deutschen Großstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 %, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt. In dieser Stadt werden 200 zufällig ausgewählte Personen befragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter benutzen.

(1)

Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: E1: Weniger als 17 der befragten Personen sind E-Scooter-Nutzende.

E2: Die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden weicht um mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße X ab.

(2)

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X für $n=200$ und $p=0{,}1$.

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung einen möglichen Wert für $k$ so, dass $P_{200;0,1}(k\le X\le k+2)\approx 0{,}15$ ist, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(3)

Die Befragung wird von vier Studierenden durchgeführt. Hierzu wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen von jeweils 50 Personen aufgeteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens zwei der vier Gruppen mindestens 5 Personen E-Scooter-Nutzende sind.

c)

Um auf sich aufmerksam zu machen und um den Anteil der E-Scooter-Nutzenden zu erhöhen, lässt ein Hersteller von E-Scootern in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden erhält insgesamt 20 Gutscheine, die nach dem folgenden Verfahren verteilt werden: Jeder der acht Freunde schreibt seinen Namen auf einen Zettel. Alle Zettel kommen in eine Lostrommel, aus der 20-mal mit Zurücklegen gezogen wird. Nach jedem Zug bekommt derjenige, dessen Name gezogen wurde, einen Gutschein. Bei diesem Verfahren kann jeder der Freunde also entweder gar keinen oder bis zu 20 Gutscheine erhalten. Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“ Genau einer der folgenden Ansätze kann zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E genutzt werden.

I

$P(E)=20\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{19}$

II

$P(E)=20\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{19}$

III

$P(E)=8\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{7}$

IV

$P(E)=8\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{7}$

d)

Die in c) beschriebene Werbekampagne soll auch in einer anderen deutschen Großstadt durchgeführt werden, in der die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, zurzeit nur 6 % beträgt. Nach der Durchführung der Werbekampagne soll durch eine Befragung von 150 zufällig ausgewählten Personen dieser Stadt getestet werden, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p>0{,}06$ und damit von einem Erfolg der Kampagne ausgeht, soll höchstens 5 % betragen. Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der 5 %-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p>0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie das gesuchte Intervall.

(2)

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p>0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens 20 %. Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06<p\le 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen.