Aufgabe B4 - Binomialverteilung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. In diesem Jahr betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird vorausgesetzt, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$P(E1) = P(X \le 160) \approx$

$P(E2) = P(X \ge 200) \approx$

$P(E3) \approx$

(2)

Im Weiteren sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \le k \le 250$.

(i)

Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge k)$ dafür, dass wenigstens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.

$P(X \ge 165) \approx$

(ii)

Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit verhält, wenn man den Wert von $k$ variiert.

(iii)

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll höchstens 60 % betragen. Ermitteln Sie, welchen Mindestwert $k$ dafür haben muss.

$k \ge$