Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Folgenden angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$:

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und den Anteil der E-Scooter-Nutzenden steigern. Dazu lässt er in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt insgesamt 20 Gutscheine, die folgendermaßen aufgeteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gegeben. Daraus wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Bei jedem Zug erhält die Person, deren Name gezogen wurde, einen Gutschein.

Nach diesem Verfahren kann also jeder der Freunde keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“

Die Werbekampagne soll auch in einer weiteren deutschen Großstadt stattfinden, in der die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit nur $6\,\%$ beträgt. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu testen, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man fälschlicherweise eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und damit einen Erfolg der Kampagne annimmt, soll höchstens $5\,\%$ betragen.

Aufgabenstellung:

a)

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Untersuchungen zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner produzierten E-Scooter an Leihfirmen; die übrigen E-Scooter dieses Herstellers werden privat genutzt.

Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer aller E-Scooter, die dieser Hersteller herstellt.

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers liegt die mittlere Nutzungsdauer bei 120 Tagen.

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für den privaten Gebrauch herstellt.

b)

Personen, die gelegentlich einen E-Scooter fahren, heißen in dieser Aufgabe E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter verbreitet. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

$E1$: Weniger als 17 der Befragten sind E-Scooter-Nutzende.

$E2$: Die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden liegt mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ entfernt.

(2)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$ dargestellt.

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen möglichen Wert für $k$, sodass $P_{200;0{,}1}(k \le X \le k+2) \approx 0{,}15$ gilt, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

(3)

Vier Studierende führen die Befragung durch. Dazu wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen mit je 50 Personen geteilt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens zwei der vier Gruppen mindestens 5 Personen E-Scooter-Nutzende sind.

c)

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und mehr E-Scooter-Nutzende gewinnen und lässt deshalb in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt zusammen 20 Gutscheine, die folgendermaßen verteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gelegt. Daraus wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Wessen Name gezogen wird, erhält jeweils einen Gutschein.

Bei diesem Verfahren kann also jeder Freund keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Das Ereignis $E$ sei: „Eine bestimmte Person erhält genau einen Gutschein.“

Nur einer der folgenden Ansätze eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $E$.

Entscheiden Sie, welcher Ansatz zutrifft, und erläutern Sie Ihre Entscheidung.