Aufgabe 2 - Teilaufgaben 1 und 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2019)

Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich Kugeln. 35 % der Kugeln sind mit „+1“ beschriftet, 25 % mit „+2“, die übrigen mit „–3“.

Teilaufgabe 1

a)

100-mal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Ermitteln Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A: „Mehr als 30 und weniger als 45 der entnommenen Kugeln sind mit „+1“ beschriftet.“

B: „Die ersten drei entnommenen Kugeln sind mit „+1“ beschriftet.“

b)

Zeigen Sie, dass die Anzahl der in der Urne insgesamt enthaltenen Kugeln kleiner als 100 sein kann.

Teilaufgabe 2

Unter Verwendung der Urne wird ein Spiel durchgeführt. Dabei wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Zahlen auf den entnommenen Kugeln werden addiert. Ist das Ergebnis positiv, gewinnt der Spieler den Wert der Summe als Betrag in Euro, ist das Ergebnis negativ, verliert er den entsprechenden Betrag.

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel mehr als 3 Euro gewinnt.

b)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel einen Gewinn erzielt, 36 %36\ \% beträgt.

c)

Ermitteln Sie für einen Spieler mithilfe eines Baumdiagramms den durchschnittlichen Verlust pro Spiel.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 - Teilaufgaben 1 und 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

1a) A: „Mehr als 30 und weniger als 45 der entnommenen Kugeln sind mit „+1“ beschriftet.“

Lösung: 80,2 %80{,}2\ \% / 0,8020{,}802

1a) B: „Die ersten drei entnommenen Kugeln sind mit „+1“ beschriftet.“

Lösung: 0,353≈4,3 %0{,}35^3 \approx 4{,}3\ \% / 0,0430{,}043

1b) Zeigen Sie, dass die Anzahl der in der Urne insgesamt enthaltenen Kugeln kleiner als 100 sein kann.

Lösung: Eine mögliche Anzahl ist 20.

2a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel mehr als 3 Euro gewinnt.

Lösung: 0,252=6,25 %0{,}25^2 = 6{,}25\ \% / 0,06250{,}0625

2b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel einen Gewinn erzielt, 36 %36\ \% beträgt.

Lösung: 0,352+2⋅0,35⋅0,25+0,252=36 %0{,}35^2 + 2 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}25 + 0{,}25^2 = 36\ \%

2c) Ermitteln Sie für einen Spieler mithilfe eines Baumdiagramms den durchschnittlichen Verlust pro Spiel.

Lösung: 0,700{,}70 € / 7070 Cent

2c) Rechnung zum Erwartungswert

Lösung: 0,352⋅2+2⋅0,35⋅0,25⋅3+0,252⋅4+2⋅0,25⋅0,4⋅(−1)+2⋅0,35⋅0,4⋅(−2)+0,42⋅(−6)=−0,70{,}35^2 \cdot 2 + 2 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}25 \cdot 3 + 0{,}25^2 \cdot 4 + 2 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}4 \cdot (-1) + 2 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}4 \cdot (-2) + 0{,}4^2 \cdot (-6) = -0{,}7

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