Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · Nachtermin · GTR (2021)

Aufgabenstellung

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen im Mittel 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Weiteren angenommen, dass die Zufallsgröße XX, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Teilaufgabe a)

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Untersuchungen zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Benutzung, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Leihfirmen; die übrigen E-Scooter werden von privaten Haushalten verwendet.

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers liegt die mittlere Nutzungsdauer bei 120 Tagen.

Teilaufgabe b)

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Vereinfachend sei angenommen, dass die Zufallsgröße XX, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

(2)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße XX für n=200n = 200 und p=0,1p = 0{,}1 dargestellt.

(3)

Vier Studierende führen die Befragung durch. Dafür wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen mit je 50 Personen eingeteilt.

Teilaufgabe c)

Ein E-Scooter-Hersteller lässt in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen, um bekannter zu werden und mehr Menschen zur Nutzung zu bewegen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt zusammen 20 Gutscheine, die folgendermaßen verteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel. Sämtliche Zettel werden in eine Lostrommel gegeben, aus der 20-mal mit Zurücklegen gezogen wird. Wer jeweils gezogen wird, erhält einen Gutschein.

Bei diesem Verfahren kann also jeder Freund keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei EE das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“

Nur einer der folgenden Ansätze eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses EE.

Aufgabenstellung: Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

Lösung: 63,563{,}5 Tage

a) (2) Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, den dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

Lösung: 1867≈0,269\frac{18}{67} \approx 0{,}269 bzw. 26,9 %26{,}9\,\%

b) (1) Ermitteln Sie für das Ereignis E1 die Wahrscheinlichkeit: Weniger als 17 der befragten Personen sind E-Scooter-Nutzende.

Lösung: P200;0,1(X≤16)≈0,207P_{200;0{,}1}(X \le 16) \approx 0{,}207

b) (1) Ermitteln Sie für das Ereignis E2 die Wahrscheinlichkeit: Die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden weicht um mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße X ab.

Lösung: 0,5560{,}556

b) (2) Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung einen möglichen Wert für k so, dass P_{200;0,1}(k <= X <= k+2) ≈ 0,15 ist.

Lösung: 1414 (oder 2424)

b) (2) Erläutern Sie, wie Sie vorgegangen sind.

Lösung: Die Säulenhöhe bei X=15X=15 beträgt ca. 0,050{,}05. Da die drei Säulen für k,k+1,k+2k, k+1, k+2 zusammen 0,150{,}15 ergeben müssen, liegt der Mittelwert der drei Säulen bei 0,050{,}05, woraus sich das Intervall [14;16][14; 16] mit k=14k = 14 (bzw. symmetrisch [24;26][24; 26] mit k=24k = 24) ergibt.

b) (3) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens zwei der vier Gruppen mindestens 5 E-Scooter-Nutzende sind.

Lösung: P4;0,569(Y≥2)≈0,783P_{4;0{,}569}(Y \ge 2) \approx 0{,}783

c) Erläutern Sie, weshalb Sie diesen Ansatz gewählt haben.

Lösung: Da mit Zurücklegen gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Namen bei jedem Zug p=18p = \frac{1}{8}. Bei insgesamt n=20n = 20 Zügen ist die Anzahl der Züge binomialverteilt mit n=20n = 20 und p=18p = \frac{1}{8}. Das Ereignis EE entspricht Z=1Z = 1, was durch Ansatz (II) beschrieben wird.

c) Entscheiden Sie, welcher Ansatz richtig ist.

Lösung: (II) P(E)=20⋅18⋅(78)19P(E) = 20 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{19}

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