Aufgabe 1 - 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2020

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2020)

Aufgabenstellung

In einem großen Unternehmen sind 29 % der Beschäftigten weiblich.

1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße XX beschrieben werden.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 12 der ausgewählten Beschäftigten weiblich sind. [2 BE]

b)

Beschreiben Sie die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang: [3 BE]

∑x=010(40x)⋅0,29x⋅0,7140−x≈0,36\sum_{x=0}^{10} \binom{40}{x} \cdot 0{,}29^x \cdot 0{,}71^{40-x} \approx 0{,}36

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 40 ausgewählten Beschäftigten die Anzahl derjenigen, die nicht weiblich sind, dreimal so groß ist wie die Anzahl der weiblichen. [2 BE]

d)

Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX für 11 oder 12 den größten Wert hat. [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2020

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 12 der ausgewählten Beschäftigten weiblich sind.

Lösung: 50,4 %50{,}4\,\% / 0,5040{,}504

b Beschreiben Sie die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang: ∑x=010(40x)⋅0,29x⋅0,7140−x≈0,36\sum_{x=0}^{10}\binom{40}{x}\cdot 0{,}29^x\cdot 0{,}71^{40-x}\approx 0{,}36

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Beschäftigten höchstens zehn weiblich sind, beträgt etwa 36 %.

c Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 40 ausgewählten Beschäftigten die Anzahl derjenigen, die nicht weiblich sind, dreimal so groß ist wie die Anzahl der weiblichen.

Lösung: 12,3 %12{,}3\,\% / 0,1230{,}123

d Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X für 11 oder 12 den größten Wert hat.

Lösung: E(X)=40⋅0,29=11,6E(X) = 40 \cdot 0{,}29 = 11{,}6. Damit hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX ihren größten Wert für eine der beiden natürlichen Zahlen, die 11,611{,}6 benachbart sind.

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