Aufgabe WTR-3 Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Eine Befragung unter 2360 Männern und 2200 Frauen, die in den vorhergegangenen 12 Monaten zumindest einmal an einem Glücksspiel teilgenommen hatten, ergab bei 2,5 % der befragten Männer und bei 0,5 % der befragten Frauen Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens. Unter den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$M$: „Die ausgewählte Person ist ein Mann.“

$S$: „Bei der ausgewählten Person ergaben sich Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens.“

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Von den befragten Männern sollen für eine weiterführende Studie 200 zufällig ausgewählt werden. Es soll davon ausgegangen werden, dass dabei die Anzahl der ausgewählten Männer, bei denen die Befragung Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens ergab, durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $2{,}5\,\%$ beschrieben werden kann. Bestimmen Sie das kleinste Intervall mit den beiden folgenden Eigenschaften:

Das Intervall ist bezüglich des Erwartungswerts von $X$ symmetrisch.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $X$ im Intervall liegt, ist größer als $90\,\%$.

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