Aufgabe B4 (a) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2021)

Aufgabenstellung

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden bestanden.

a) Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable XX gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird vorausgesetzt, dass XX binomialverteilt mit p=0,7p = 0{,}7 ist.

(1)

Ermitteln Sie zu jedem der folgenden Ereignisse die zugehörige Wahrscheinlichkeit:

P(E1)=P(X≤160)≈P(E1) = P(X \le 160) \approx

P(E2)=P(X≥200)≈P(E2) = P(X \ge 200) \approx

P(E3)≈P(E3) \approx

(2)

Im Weiteren sei kk eine ganze Zahl mit 0≤k≤2500 \le k \le 250.

P(X≥165)≈P(X \ge 165) \approx

k≥k \ge

Aufgabenstellung: Aufgabe B4 (a) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) zu E1: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

Lösung: 0,02400{,}0240

(1) zu E2: „Es werden mindestens 80 % der praktischen Prüfungen bestanden.“

Lösung: 0,00020{,}0002

(1) zu E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

Lösung: 0,30050{,}3005

(2) (i) Bestimmen Sie für k = 165 die Wahrscheinlichkeit P(X >= k), dass mindestens k praktische Prüfungen bestanden werden.

Lösung: 0,92510{,}9251

(2) (ii) Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit verhält, wenn man k variiert.

Lösung: Wenn der Wert von kk vergrößert wird, verringert sich P(X≥k)P(X \ge k). Entsprechend vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn kk verkleinert wird.

(2) (iii) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k bestandene praktische Prüfungen soll höchstens 60 % betragen. Ermitteln Sie, wie groß k dafür mindestens sein muss.

Lösung: 174

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