Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden im Jahr 2018 etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden in diesem Jahr bestanden.

Wenn eine Fahrschule $n$ praktische Prüfungen durchführt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils an, wie viele dieser Prüfungen bestanden werden. Vereinfachend gilt die Annahme, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

a) Für das Jahr 2021 werden an einem Düsseldorfer Standort einer Fahrschulkette insgesamt 250 praktische Führerscheinprüfungen erwartet. Das Modell unterstellt, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

E1:

„Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2:

„Es werden mehr als 80 % der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3:

„Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

(2)

(i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens 165 praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii)

Ermitteln Sie den kleinsten Wert der Zahl $k$, für den die Wahrscheinlichkeit, mindestens $k$ praktische Prüfungen zu bestehen, höchstens 60 % beträgt.