Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2021)

Aufgabenstellung

Aufgabe B4

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge wird ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage verwendet, ein privat genutzter E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

a) (1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen; die übrigen E-Scooter dieses Herstellers kommen in privaten Haushalten zum Einsatz.

a) (2)

Die E-Scooter eines anderen Herstellers werden im Mittel 120 Tage lang genutzt.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die gelegentlich E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei die Zufallsgröße XX, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit der Wahrscheinlichkeit 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

b) (1)

b) (2)

Mit dem folgenden unvollständigen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Zusammenhang mit der oben beschriebenen Stichprobe bestimmt:

P(X=__)=__⋅0,115⋅__P(X = \_\_) = \_\_ \cdot 0{,}1^{15} \cdot \_\_

In einer weiteren deutschen Großstadt liegt die Wahrscheinlichkeit pp, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit bei nur 6 %. Ein E-Scooter-Hersteller will pp mit einer gezielten Werbekampagne steigern. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig gewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen wertet die Kampagne als erfolgreich, falls unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

c) (1)

Es sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit pp habe sich nicht geändert.

c) (2)

Es sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit pp habe sich sogar verdoppelt.

c) (3)

Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit pp, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von pp lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

(1−p)50+50⋅p⋅(1−p)49=0,05(1-p)^{50} + 50 \cdot p \cdot (1-p)^{49} = 0{,}05

Aufgabenstellung: Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

Lösung: 63,5 Tage

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

Lösung: 26,9 % (x = 18/67 ≈ 0,269)

E1: Weniger als 17 der befragten Personen sind E-Scooter-Nutzende.

Lösung: P200;0,1(X≤16)≈0,207P_{200;0,1}(X \leq 16) \approx 0{,}207

E2: Es befindet sich mindestens die zu erwartende Anzahl an E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen.

Lösung: P200;0,1(X≥20)≈0,534P_{200;0,1}(X \geq 20) \approx 0{,}534

(2)(i) Geben Sie den vollständigen Ansatz an, indem Sie die drei fehlenden Angaben ergänzen: erste Lücke (Wert von X).

Lösung: 15

(2)(i) Geben Sie den vollständigen Ansatz an, indem Sie die drei fehlenden Angaben ergänzen: der Binomialkoeffizient.

Lösung: (20015)\binom{200}{15}

(2)(i) Geben Sie den vollständigen Ansatz an, indem Sie die drei fehlenden Angaben ergänzen: der letzte Faktor.

Lösung: 0,91850{,}9^{185}

(2)(ii) Nennen Sie ein Ereignis zur oben beschriebenen Stichprobe, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit diesem Ansatz berechnen lässt.

Lösung: Unter den 200 Befragten befinden sich genau 15 E-Scooter-Nutzende.

(2)(iii) Interpretieren Sie die Bestandteile der rechten Seite des Ansatzes im Sachzusammenhang.

Lösung: (20015)\binom{200}{15} gibt die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten an, unter 200 befragten Personen 15 E-Scooter-Nutzende zu finden. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine befragte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt 0,1, die Gegenwahrscheinlichkeit ist 0,9. Jede der verschiedenen Möglichkeiten hat die Wahrscheinlichkeit 0,115⋅0,91850{,}1^{15}\cdot 0{,}9^{185}.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen aufgrund der Befragung trotzdem annehmen würde, die Werbekampagne sei erfolgreich gewesen (p unverändert bei 6 %).

Lösung: P150;0,06(X≥12)≈0,191P_{150;0,06}(X \geq 12) \approx 0{,}191

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen in diesem Fall aufgrund der Befragung folgern würde, die Kampagne sei nicht erfolgreich gewesen (p hat sich verdoppelt auf 12 %).

Lösung: P150;0,12(X≤11)≈0,045P_{150;0,12}(X \leq 11) \approx 0{,}045

Geben Sie an, was die beiden Summanden auf der linken Seite der Gleichung (1−p)50+50⋅p⋅(1−p)49=0,05(1-p)^{50}+50\cdot p\cdot(1-p)^{49}=0{,}05 im Sachzusammenhang bedeuten.

Lösung: Der Summand (1−p)50(1-p)^{50} steht für die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 50 Befragten niemand befindet, der gelegentlich einen E-Scooter benutzt. Der Summand 50⋅p⋅(1−p)4950\cdot p\cdot(1-p)^{49} steht für die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 50 Befragten genau eine Person befindet, die gelegentlich einen E-Scooter benutzt.

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