Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die hin und wieder einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n=200$ und $p=0{,}1$

Teilaufgabe a)

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen; die übrigen E-Scooter dieses Herstellers werden privat genutzt.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

(2)

Bei einem weiteren Hersteller liegt die durchschnittliche Nutzungsdauer seiner E-Scooter bei 120 Tagen.

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, den dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

Teilaufgabe b)

E-Scooter kommen hauptsächlich in Großstädten zum Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

E1: Weniger als 17 der Befragten nutzen E-Scooter.

E2: Die Zahl der E-Scooter-Nutzenden liegt mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße X entfernt.

(2)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X für $n=200$ und $p=0{,}1$ dargestellt.

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen möglichen Wert für $k$, sodass $P_{200;0,1}(k \le X \le k+2) \approx 0{,}15$ gilt, und erläutern Sie, wie Sie vorgegangen sind.

(3)

Vier Studierende führen die Befragung durch. Dazu wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen mit je 50 Personen geteilt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in wenigstens zwei der vier Gruppen mindestens 5 Personen E-Scooter nutzen.

Teilaufgabe c)

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und mehr Nutzende gewinnen und lässt deshalb in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt insgesamt 20 Gutscheine, die so verteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gegeben. Es wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen, und wer gezogen wird, erhält jeweils einen Gutschein.

Somit kann jeder Freund bei diesem Verfahren keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein."

Nur einer der folgenden Ansätze eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$.

(I) $$P(E)=20\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{19}$$

(II) $$P(E)=20\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{19}$$

(III) $$P(E)=8\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{7}$$

(IV) $$P(E)=8\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{7}$$

Entscheiden Sie, welcher der Ansätze zutrifft, und erläutern Sie, wie Sie zu Ihrer Entscheidung gekommen sind.