Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2021

Aufgabe 1

Ein Unternehmen bietet Joghurt in Bechern an. Die Becher werden auf Paletten mit jeweils 20 Bechern ausgeliefert. Bei jedem Becher befindet sich auf der Unterseite des Deckels genau eines von sechs verschiedenen Motiven.

Das Unternehmen plant eine Änderung. Künftig soll für jeden Becher das Motiv 6 mit der Wahrscheinlichkeit $p$ ausgewählt werden. Die Zufallsgröße $X$ gibt für eine Palette die Anzahl der Becher mit dem Motiv 6 an.

c

Die Abbildung zeigt für einen Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.

[4 BE]

Beurteilen Sie jede der beiden folgenden Aussagen:

Aussage I:

„Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich auf einer Palette weniger als zwei Becher mit dem Motiv 6 befinden, ist größer als $50\,\%$.“

Wahr

Falsch

Aussage II:

„Der Wert von $p$ ist größer als $\frac{1}{6}$.“

Wahr

Falsch

Nach der Änderung wird für jeden Becher das Motiv 6 mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{36}$ ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die anderen fünf Motive ausgewählt werden, stimmen überein.

d

Geben Sie jeweils einen Wert von $m$ und $n$ an, sodass mit dem Term $m \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{35}{36}\right)^n + \left(\frac{35}{36}\right)^{40}$ die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden kann. Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis.

[4 BE]

e

Kunden können für gesammelte Motive Prämien gewinnen. Der Tabelle können die Kosten entnommen werden, die dem Unternehmen dadurch entstehen.

[4 BE]

Motiv

1

2

3

4

5

6

Wahrscheinlichkeit für die Auswahl

$\frac{1}{36}$

Kosten pro Becher

4 Cent

4 Cent

2 Cent

2 Cent

2 Cent

9 Cent

Berechnen Sie die mittleren Kosten pro Becher, die dem Unternehmen durch die Prämien entstehen.