Aufgabe 2 - 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Bei einer statistischen Erhebung werden in einer deutschen Großstadt die privaten Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter betrachtet. Diese werden im Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet. Es wird festgestellt, dass $60\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8\,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

2 Betrachtet werden Vorderrad- und Hinterradreifen für Lastenräder. Auf einem Prüfstand kann die Laufleistung von solchen Reifen gemessen werden. Die Laufleistung gibt die auf dem Prüfstand ermittelte Gesamtstrecke an, bis der Reifen unbrauchbar wird. Die Zufallsgröße $V$ beschreibt die Laufleistung in Kilometern (km) der Vorderradreifen eines bestimmten Herstellers, die Zufallsgröße $H$ der Hinterradreifen desselben Herstellers. $V$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $6800\text{ km}$ und der Standardabweichung $530\text{ km}$ angenommen. $H$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $4600\text{ km}$ und der Standardabweichung $480\text{ km}$ angenommen.

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen dieses Herstellers eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\text{ km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht.

b)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen dieses Herstellers wahr ist:

Die Laufleistung, die ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen gemäß dem Modell mit der Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ übertreffen wird, wird ein zufällig ausgewählter Hinterradreifen nahezu mit Sicherheit unterschreiten.

c)

Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt die Laufleistung in km der Hinterradreifen eines anderen Herstellers. $Z$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu_Z$ und der Standardabweichung $\sigma_Z$ angenommen. Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = P(Z \le 1000 \cdot x)$ dar.

Ermitteln Sie die Werte von $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ jeweils in km.