Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Im Rahmen einer Werbeaktion wird in einem Baumarkt der Kette ein Gewinnspiel mit einem Glücksrad angeboten. Das Glücksrad besteht aus gleich großen Sektoren, von denen einige mit 5 und die anderen mit 2 beschriftet sind. Bei diesem Gewinnspiel dreht eine Person zweimal das Glücksrad. Das Produkt der beiden dabei erzielten Zahlen entspricht dem Rabatt in Prozent, der dieser Person beim nächsten Einkauf gewährt wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür, in beiden Drehungen die Zahl 5 zu erzielen, beträgt $\frac{1}{36}$ und die Wahrscheinlichkeit dafür, den kleinstmöglichen Rabatt zu erzielen, beträgt $\frac{25}{36}$.

Um die Werbeaktion attraktiver zu gestalten, setzt die Geschäftsführung des Baumarkts ein anderes Glücksrad ein, das ebenfalls zweimal gedreht wird. Dieses hat ebenfalls mehrere Sektoren, von denen einige mit 5 und die anderen mit 2 beschriftet sind. Durch Änderung der Größen der Sektoren kann jedoch die Wahrscheinlichkeit $q$ dafür, beim einmaligen Drehen die Zahl 5 zu erzielen, variiert werden. Der Rabatt, der einer Person beim nächsten Einkauf gewährt wird, wird auf gleiche Weise wie bisher ermittelt.

Zeigen Sie, dass die Gleichung $9q^2 + 12q - 5 = 0$ denjenigen Wert für $q$ liefert, mit dem beim Gewinnspiel mit diesem Glücksrad auf lange Sicht im Mittel ein Rabatt von $9\,\%$ zu erwarten ist.