Aufgabe 2 (CAS 2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2017

In Deutschland liegt bei 1 % der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

Aufgabe 2 (CAS 2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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Im Rahmen einer Studie werden aus der Bevölkerung Deutschlands $20000$ Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der ausgewählten Personen an, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt. Berechnen Sie in einem geeigneten Modell die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ abweicht.

3 c

Der Test wird mithilfe eines Teststreifens durchgeführt, auf dem ein Indikator aufgebracht ist. Ist die Indikatormenge auf einem Teststreifen kleiner als $15\,\mathrm{mg}$, so ist dieser unbrauchbar.

Die Indikatormenge auf den Teststreifen ist normalverteilt. Vor einer Verbesserung des Herstellungsverfahrens hatte der Erwartungswert $20\,\mathrm{mg}$ und die Standardabweichung $4{,}0\,\mathrm{mg}$ betragen.

Durch die Verbesserung konnte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teststreifen aufgrund der Indikatormenge unbrauchbar ist, halbiert werden. Der Erwartungswert für die Indikatormenge blieb dabei unverändert. Bestimmen Sie die geänderte Standardabweichung.