Ejercicios de Funcions entre conjunts

214 ejercicios de Funcions entre conjunts que han salido en los exámenes de Fonaments Matemàtics de la UPC (Grado en Ingeniería Informática) 2016.

Problema 1 · 2016

Efectuar el estudio y representar gráficamente la función f(x) = (x - 3)/sqrt(4x^2 - 1).

Problema 2 · 2016

Hallar el límite cuando x tiende a 0 de (tg x - sen x)/x^3 aplicando los desarrollos de Taylor.

Problema 7 · 2016

Hallar las primitivas: a) ∫ sen^2(x) cos^2(x) dx; b) ∫ e^(4x) / (e^(2x) + 2e^x + 2) dx.

Problema 8 · 2016

Calcular el valor de la integral definida $\int_1^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$.

Problema 9 · 2016

Calcular el volumen del cuerpo obtenido al rotar alrededor del eje X la región delimitada por las curvas y = sen(x/2), y = x, x ∈ [0, 2π].

Problema 10 · 2016

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y(x) = \int_{x^2}^{x} e^{t^2} dt en el punto de abscisa x = 1 (sin calcular la integral explícitamente).

Problema 11 · 2016

Hallar el dominio de definición, continuidad y derivabilidad de la función definida a trozos f(x).

Problema 12 · 2016

Calcular los límites indeterminados de lim_{x->0} (cos x)^{1/(1-cosh x)} y lim_{x->0} arcsen x / log(sqrt(1+x)).

Problema 13 · 2016

Hallar las dimensiones óptimas de una caja rectangular abierta de 64 cm³ de base cuadrada y su coste mínimo en euros.

Problema 14 · 2016

Determinar el dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad de la función definida a trozos g(x) que incluye la función signo.

Problema 15 · 2016

Calcular los límites: a) lim_{x -> π/4} (tan x)^(1/(4x - π)) y b) lim_{x -> 0} log((1+x)^(1/3)) / (π/2 - arccos x).

Problema 16 · 2016

Hallar las dimensiones (radio y altura) de una caja cilíndrica abierta de volumen 64 cm³ para que su coste sea mínimo (base: 25 céntimos/cm², superficie lateral: 50 céntimos/cm²). Calcular también el coste total mínimo en euros.

Problema 17 · 2016

Dada la función definida a trozos h(x), determinar su dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad.

Problema 18 · 2016

Calcular los límites: a) lim_{x->0} (1 + senh x)^(1/sen x) y b) lim_{x->0} (arctg x - x)/log(x^2 + 1).

Problema 19 · 2016

Hallar las dimensiones de una caja en forma de prisma triangular regular abierto de 64 cm³ de volumen para minimizar el coste (base: 20 céntimos/cm², caras laterales: 10 céntimos/cm²). Calcular también el coste en euros.

Problema 20 · 2016

Encontrar el valor de la constante a para que la función definida a trozos f(x) = (4 sen x)/x si x < 0 y f(x) = a - 2x si x >= 0 sea continua en todo R.

Problema 22 · 2016

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva x^(2/3) + y^(2/3) = 5 en el punto (8, 1).

Problema 23 · 2016

Dada la función f(x) = e^(-2x), calcular el polinomio de Taylor de f de grado 3 centrado en c = 0.

Problema 24 · 2016

Encontrar el valor de a para que la función f(x) = (1 - cos x)/x^2 si x < 0 y f(x) = a + x^2 si x >= 0 sea continua en todo R.

Problema 26 · 2016

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y^2(x + y^2) = 2x^2 en el punto (1, 1).

Problema 27 · 2016

Dada la función f(x) = sqrt(x + 1), calcular el polinomio de Taylor de f de grado 2 centrado en c = 0.

Problema 28 · 2016

Determinar el valor del parámetro real a para que la función f(x) = (x^2 - a^2)/(x - a) si x != a, f(a) = 3 sea continua en todo R.

Problema 29 · 2016

Dada la función f(x) = (1/4)x + 2: a) Calcula el límite L cuando x tiende a -4. b) Encuentra un valor de delta tal que |f(x) - L| < 0.01 siempre que 0 < |x + 4| < delta. c) Halla una fórmula para delta(epsilon) que garantice que |f(x) - L| < epsilon siempre que 0 < |x + 4| < delta.

Problema 30 · 2016

Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva (4 - x)y^2 = x^3 en el punto (2,2).

Problema 31 · 2016

Dada la función f(x) = 1/x^2, calcular el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en c = 1.

Problema 33 · 2016

Calcular los límites: a) lim_{x->1/2} (2x^2+3x-2)tan(pi x) y b) lim_{x->-inf} (sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-4x)).

Problema 34 · 2016

Para f(x)=log(1+x^2), calcular los puntos de inflexión, las rectas tangentes en dichos puntos y bosquejar la gráfica con sus tangentes.

Problema 35 · 2016

Se considera la función en el plano f(x,y) = (x+y)/sqrt(x^2+y^2) si (x,y) != (0,0) y 0 si (x,y) = (0,0). a. Estudiar las propiedades de continuidad de f en todo el plano. b. Calcular las derivadas parciales de f(x,y) en el origen (0,0), si existen. c. Determinar el gradiente de g(x,y,z) = log(e^x + e^y + e^z) y su…

Problema 36 · 2016

Se considera la función f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 2x - 4y sobre la región R = {(x, y) in R^2 : x^2 + 4y^2 <= 4}. a. Representar R e identificar su frontera. b. Hallar los extremos absolutos de f en R.

Problema 38 · 2016

Considerar el sólido acotado en el primer octante por los planos coordenados y x + y + z = 1. a) Describir la región de integración. b) Calcular la integral triple de 1/(x+y+z+1)^3.

Problema 39 · 2016

Calcular el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (zx, zy, x^2 y^2) a través de la superficie cerrada S = S1 U S2 orientada hacia el exterior, donde S1: z = 4 - 2(x^2 + y^2), 0 <= z <= 4 y S2: z = -4 + 2(x^2 + y^2), -4 <= z <= 0.

Problema 40 · 2016

Resolver mediante la transformada de Laplace el problema de valor inicial y'(t) - y(t) = 2(e^t cos(2t) - e^(-t)), y(0) = 1.

Problema 42 · 2016

Calcular los límites: a. lim_{x -> +inf} ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x-3)), b. lim_{x -> inf} x^2 (e^(3/x) - e^(1/x) - 2/x).

Problema 43 · 2016

Para f(x) = |x^3(x+4)|: a. Analizar continuidad y derivabilidad en todo su dominio. b. Calcular los valores máximo y mínimo absolutos en [-5, 1].

Problema 44 · 2016

Encuentre los puntos de la curva parabólica y = 4 - x^2 que se encuentran a una distancia mínima del punto (0, 2).

Problema 45 · 2016

Efectúe el estudio detallado (dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos y curvatura) y dibuje la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = (2x^2 - 2x - 4)/(x - 3) b) g(x) = e^x/(x - 1)

Problema 46 · 2016

Halle la siguiente integral indefinida: ∫ sen²(3x) dx

Problema 47 · 2016

Calcule la primitiva: \int (x^2 + 1)\cosh(2x)\,dx

Problema 48 · 2016

Calcule la primitiva de la función racional: \int \frac{x - 1}{x^2 + x - 20}\,dx

Problema 49 · 2016

Halle el resultado de la siguiente integral indefinida: $\int \frac{x + 3 + \sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}\, dx$

Problema 50 · 2016

Aproxime el valor de la función f(x) = \sqrt[3]{x + 27} en x = 1/3 usando el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el origen y estime una cota superior del error mediante el resto de Lagrange.

Problema 51 · 2016

Calcule las siguientes primitivas: a) ∫(1-x)(cos x + cosh x) dx y b) ∫(1-x)/((x^2 - 5x + 6)(x - 2)) dx.

Problema 52 · 2016

Se desea cercar un terreno rectangular de 400 m² donde dos lados opuestos cuestan 1 €/m y los otros dos 2 €/m. Determine las dimensiones de los lados para minimizar el coste total.

Problema 53 · 2016

Obtenga una aproximación de f(x) = 1/((x+8)^2)^(1/3) en x = 1/10 mediante el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el origen y estime una cota del error con el resto de Lagrange.

Problema 54 · 2016

Calcule las siguientes integrales indefinidas: a) ∫(2x+1)ln(x²+x)dx, b) ∫(1-x)/((x+1)(x²+1))dx.

Problema 55 · 2016

Un productor de pintura puede generar entre 10 y 30 m^3 diarios. El beneficio en cientos de euros es B(x) = (x-15)^3/1000 - 3(x-15)/10 + 300. Halle el volumen de producción que maximiza el beneficio.

Problema 56 · 2016

a) Demuestre que si f: [0,1] -> [0,1] es continua, existe c en [0,1] tal que f(c) = c. b) Calcule el límite de x*[(1+1/x)^x - e] cuando x tiende a infinito.

Problema 58 · 2016

Problema 3 de Diciembre 2000: a) Calcular la integral indefinida ∫ (3x - 4)/(x^2 + 2x + 4)^2 dx. b) Esbozar la gráfica de f(x) = x/ln(x).

Problema 59 · 2016

Calcular el parámetro real alpha para que lim_{x->inf} x^alpha (sqrt[4]{x+1}-sqrt[4]{x}) sea finito y no nulo, hallar el límite y esbozar r = 1 - sen(theta) en coordenadas polares.

Problema 60 · 2016

Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 en x=0 para f(x)=ln(1+sen x) y estimar el error de aproximación por P_2(x) en x=0.1 usando el resto de Lagrange.

Problema 62 · 2016

Calcular lim_{x->inf} [sqrt((x+a)(x+b)) - x], hallar el dominio de arcsen(1-x^2) y calcular lim_{x->0^+} f(x)ln x sabiendo f derivable en 0 y f(0)=0.

Problema 64 · 2016

Septiembre 2001 - Problema 3: a. Calcule la integral indefinida ∫ (cos x)/(3 + cos² x) dx. b. Calcule la longitud del tramo de curva en polares r = 3 sec θ para 0 ≤ θ ≤ π/3.

Problema 65 · 2016

Febrero 2002 - Problema 1: Analice la continuidad y la derivabilidad en el punto x = 0 de la función f(x) = (sen x)^x si x > 0 y f(x) = 1 si x ≤ 0.

Problema 67 · 2016

Febrero 2002 - Problema 3: Dada la función F(x) = ∫_0^x e^(t²) cos t dt, determine: a. El polinomio de Taylor de grado 5 de F(x) centrado en x = 0. b. El error cometido al estimar F(0,1) ≈ 0,1.

Problema 68 · 2016

Febrero 2002 - Problema 4 (3 puntos): a) Calcular la integral indefinida de (3x + 2)/(x^4 + 2x^2 + 1). b) Calcular el área delimitada entre la gráfica de f(x) = (x^2 - 1)cos(x) y el eje de abscisas en [0, pi/2].

Problema 69 · 2016

Calcular los límites: a) lim_{x->0} x^(1/5) * cos(f(x)) con f arbitraria en un entorno perforado del origen; b) lim_{x->0} ((1+x)^sqrt(x^2+5) - 1)/x.

Problema 71 · 2016

Problema 3 (Enero 2003): Dada f(x) = ln(cos x) / (1 - x^3): a) Calcular los cinco primeros términos de su polinomio de Taylor en torno al origen P_5(x). b) Calcular lim_{x -> 0} (f(x) - P_5(x)) / x^6.

Problema 72 · 2016

Problema 4 (Enero 2003): Calcular la integral indefinida int dx / (3 + 5 cos x).

Problema 74 · 2016

Calcule los siguientes límites cuando x tiende a menos infinito: a) lim_{x->-inf} [x^2 * arctan(1/x) - ln(1+x^2)] b) lim_{x->-inf} ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x-3))

Problema 75 · 2016

Determine si la función g(x) = |x - 1| ∫_{-1}^{x} sen(t^3) dt es derivable en el punto x = 1 y, en caso afirmativo, halle el valor de g'(1).

Problema 76 · 2016

Calcular aproximadamente g(0) para g(x) = |x - 1| \int_{-1}^{x} \operatorname{sen}(t^3)\,dt con un error menor que 10^{-3}.

Problema 77 · 2016

Esbozar la gráfica de la cardioide r(\theta) = a(1 + \cos\theta) con \theta \in [0, 2\pi], a > 0, y calcular su longitud total.

Problema 1 (4 Feb 2004) · 2016

Problema 1: a) Verificar que F(x) = \int_{x}^{x+T} f(t) dt es constante si f es continua y periódica de periodo T. b) Calcular y justificar lim_{x->\infty} [f(x+c) - f(x)] si f es diferenciable con lim_{x->\infty} f'(x) = 0.

Problema 2 (4 Feb 2004) · 2016

Problema 2 (4 Feb 2004). a) Hallar el valor de a para que las curvas f(x) = e^(x/2) y g(x) = sqrt((a+x)/(a-x)) difieran con un error de orden estrictamente superior o igual a x^3. b) Calcular mediante desarrollos de Maclaurin el límite de (x - sen x) / (e^x - 1 - x - x^2/2) cuando x tiende a 0.

Problema 3 (4 Feb 2004) · 2016

Dada la función F(x) = int_0^x alpha*t*ln|t| dt con alpha != 0, determinar para qué valores de alpha se garantiza la existencia de al menos una raíz en el intervalo cerrado [1, e].

Problema 4 (4 Feb 2004) · 2016

Determine el área de la región comprendida entre la curva f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 + 4) y su asíntota horizontal.

Problema 5 (4 Feb 2004) · 2016

Sea F(x) = int_0^x e^(-t^2) dt. Obtener el polinomio de Taylor de tercer grado en x = 0 de F(x). Aproximar F(1/10) con dicho polinomio y acotar el error.

Problema 1 (8 Sep 2004) · 2016

a. Determinar integral_1^4 f^(-1)(y) dy sabiendo que f es monótona creciente en [a, b], f(a)=1, f(b)=4 e integral_a^b f(x)dx=5. b. Razonar si es posible definir f continua y sobreyectiva de [-2, 2] en (-2, 2).

Problema 2 (8 Sep 2004) · 2016

Calcule el límite cuando x tiende a 0 de (e^{x^4} - e^{sen x}) / (x^4 - sen x).

Problema 3 (8 Sep 2004) · 2016

Localice y clasifique los extremos relativos de f(x) = \int_0^{x^5} dt/(5 + cos^4 t) para x en [0, \infty).

Problema 5 (8 Sep 2004) · 2016

Dada la función F(x) = ∫_0^1 s^k sen(sx) ds con k > 0 y x ≥ 0: a) Demostrar el cambio de variable F(x) = (1/x^{k+1}) ∫_0^x t^k sen t dt; b) Hallar F'(0^+); c) Justificar que cumple x F'(x) + (k+1)F(x) = sen x.

Ejercicio 4 (Hoja 3) · 2016

Halle las siguientes primitivas: a) ∫ sen⁴(x) dx, b) ∫ 3/(x² - 2x + 2) dx, c) ∫ √(√x + 1) dx, d) ∫ x² log(x) dx.

Ejercicio 5 (Hoja 3) · 2016

Calcule la superficie encerrada entre la curva f(x) = (x^2+3)/(x^2+4) y su asíntota horizontal.

Problema 1 (Final 15 Ene 2016) · 2016

Realice la representación gráfica completa de la función f(x) = x^(2/3)/(x+1).

Problema 3 (Final 15 Ene 2016) · 2016

a) Obtenga la serie de Taylor de f(t) = (e^(t^2)-1)/t y determine su intervalo de convergencia. b) Deduzca el desarrollo en serie de Taylor de g(x) = int_0^sqrt(x) (e^(t^2)-1)/t dt. c) Calcule el límite lim_{x->0^+} (2g(x) - x)/x^2.

Problema 4 (Final 15 Ene 2016) · 2016

Problema 4 (Final 15 Ene 2016). a) Calcular la integral definida de x^2/sqrt(4 - x^2) entre 0 y 1. b) Calcular el volumen de revolución generado al rotar la elipse x^2/4 + 9y^2 <= 1 alrededor del eje X.

Problema 1 (Final 13 Ene 2017) · 2016

Representar gráficamente la función f(x) = sqrt(|x-1|)/(x+1) prescindiendo del cálculo de la segunda derivada.

Problema 4 (Final 13 Ene 2017) · 2016

Calcular la integral definida entre e y e^2 de (e^{3x} + 2e^x)/(e^{2x} - 4e^x + 5) dx.

Problema 5 (Final 13 Ene 2017) · 2016

Calcule el volumen del sólido generado al revolucionar alrededor del eje vertical Y la región {0 ≤ x ≤ 1, arctg x ≤ y ≤ π/4}.

Problema 1 (Extraord. 15 Jun 2017) · 2016

Dibuje la gráfica de la función periódica f(x) = 1/(1+tg x) indicando sus asíntotas, monotonía y puntos de inflexión.

Problema 4 (Extraord. 15 Jun 2017) · 2016

a. Calcule el área delimitada por f(x) = 1/(1+tg x) y el eje horizontal para x en [0, pi/4]. b. Calcule el volumen generado al girar en torno al eje horizontal la región acotada en el primer cuadrante por y = log(1+x), y = 1 - log(1+x) y x = 0.

Problema 2 (Control 1, 27 Oct 2015) · 2016

Calcule los límites: a. lim_{x -> +inf} ((2x+7)/(2x-6))^{sqrt(4x^2+x-3)} b. lim_{x -> inf} x^2 (e^{3/x} - e^{1/x} - 2/x)

Problema 3 (Control 1, 27 Oct 2015) · 2016

Estudie la continuidad y la derivabilidad en toda la recta real de la función f(x) = |x³(x + 4)|.

Problema 4 (Control 1, 27 Oct 2015) · 2016

Halle los puntos de la curva y = 4 - x² que se encuentran a distancia mínima del punto (0, 2).

Problema 5 (Control 1, 27 Oct 2015) · 2016

Represente la gráfica de una de las siguientes dos funciones: a. f(x) = (2x² - 2x - 4)/(x - 3); b. g(x) = e^x / (x - 1).

Ejercicio 1 (Hoja 1) · 2016

Calcule los siguientes límites en caso de existir: a. lim_{x->pi/2} (sen x)^(3 / cos^2 x); b. lim_{t->0} (1 - 2e^(1/t)) / (3 + 4e^(1/t)).

Ejercicio 3 (Hoja 1) · 2016

Sea f diferenciable con f(1/2) = -3 y f'(x) = sqrt(x^2 + 2). Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g(x) = x^2 f((x-1)/x) en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 4 (Hoja 1) · 2016

Determine el menor valor de alpha para el cual la función f(x) = |alpha*x^2 - 2*alpha*x + 3| resulta derivable en todo R.

Ejercicio 5 (Hoja 1) · 2016

De entre todos los sectores circulares de perímetro fijado en 60 cm, halle el radio y el ángulo central que maximizan su área.

Problema 3 (Control 3b, 21 Dic 2015) · 2016

Obtener el límite cuando x tiende a 0+ de \int_0^{x^3} (sen(t)/t) dt / (1 - cos(x^(3/2))).

Problema 4 (Control 3b, 21 Dic 2015) · 2016

Calcule el área comprendida entre g(x) = e^x / (e^x + 1) y su asíntota horizontal para x >= 0.

Problema 2 (Control 3, 17 Dic 2015) · 2016

Calcule una de las dos integrales: a) integral de 0 a log(2) de sqrt(e^x - 1) dx; b) integral de 0 a sqrt(2)/2 de x^2 / sqrt(1 - x^2) dx.

Problema 4 (Control 3, 17 Dic 2015) · 2016

Calcule el área entre la curva y su asíntota para uno de los siguientes casos: a. f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 + 4) en todo R. b. g(x) = 1/(1 + e^(-x)) para x >= 0.

Problema previo (apartado b) · 2016

Calcula el volumen del cuerpo obtenido al hacer girar sobre el eje de abscisas la región acotada por las curvas y = 1 - log(1 + x) e y = log(1 + x) entre x = 0 y el punto de corte.

Problema 2 (Control 1, 25-10-2016) · 2016

Obtén el valor de los límites: a) lim_{x->+inf} ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x)-3); b) lim_{x->inf} x^2(e^(3/x) - e^(1/x) - 2/x).

Problema 3 (Control 1, 25-10-2016) · 2016

Analiza de forma razonada la continuidad y la derivabilidad en todo su dominio de la función f(x) = |x³(x + 4)|.

Problema 4 (Control 1, 25-10-2016) · 2016

Problema 4 (Control 1, 25-10-2016). Encuentra los puntos pertenecientes a la parábola y = 4 - x^2 que se encuentran a distancia mínima del punto (0, 2).

Problema 5 (Control 1, 25-10-2016) · 2016

Realiza el estudio completo (dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos y curvatura) y esboza la gráfica de una de las dos funciones dadas: a. f(x) = (2x^2-2x-4)/(x-3) o b. g(x) = e^x/(x-1).

Problema 2 (Control 1, 24-10-2016) · 2016

Calcula el valor exacto de los siguientes límites: a. lim_{x->0} (cos x)^(1/x^2) y b. lim_{x->∞} (sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 4x)).

Problema 4 (Control 1, 24-10-2016) · 2016

Determinar el área mínima del triángulo determinado por los semiejes positivos y rectas tangentes a la parábola y = 6 - x².

Problema 5 (Control 1, 24-10-2016) · 2016

Efectúa el análisis detallado (dominio, asíntotas, monotonía, concavidad y extremos) y dibuja la gráfica de la función g(x) = e^(1/x).

Problema 1 (Control 2, 28-11-2016) · 2016

Estudia analíticamente (dominio, cortes, asíntotas, monotonía, curvatura) y representa gráficamente la función f(x) = (x - 3) / sqrt(4x² - 1).

Problema 2 (Control 2, 28-11-2016) · 2016

Calcula el valor del límite lim_{x->0} (tg x - sen x)/x^3 empleando necesariamente desarrollos de Taylor.

Problema 2 (Control 3, 19-12-2016) · 2016

Calcula las primitivas de las siguientes funciones: a) int sen^2(x) cos^2(x) dx; b) int (e^(4x))/(e^(2x) + 2e^x + 2) dx.

Problema 4 (Control 3, 19-12-2016) · 2016

Calcula el área de la región comprendida entre la curva f(x) = e^x / (1 + e^x), su asíntota horizontal cuando x -> inf y el eje de ordenadas (x >= 0).

Problema 5 (Control 3, 19-12-2016) · 2016

Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje OX la región del plano delimitada por y = sen(x/2), y = x, x en [0, 2pi].

Problema 2 (Control 3 variante, 19-12-2016) · 2016

Halla las primitivas correspondientes a las siguientes funciones: a) int sen^2(x) cos^2(x) dx [1,5 puntos]; b) int e^(4x) / (e^(2x) + 2e^x + 2) dx [1,5 puntos].

Problema 4 (Control 3 variante, 19-12-2016) · 2016

Calcula el volumen obtenido al revolucionar alrededor del eje OX la región acotada por y=sen(x/2), y=x, x en [0, 2pi].

Problema 5 (Control 3 variante, 19-12-2016) · 2016

Sin resolver la integral, calcula la recta tangente a la gráfica de la función y(x) = \int_{x^2}^x e^{t^2} dt en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio 1. Examen Final 1. Series de potencias, extremos,… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen con cuestiones de series de potencias (carácter en x=0, 1, e), extremos absolutos, dominio e imagen de (1+x)/log(1+x), límites mediante desarrollos de Taylor, integral racional definida, teorema fundamental del cálculo y ceros, e integrales impropias dependientes de un parámetro.

Ejercicio 2. Examen Final 2. Límites trigonométricos, Taylo… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen Final 2 compuesto por apartados de cálculo de límites trigonométricos con arcotangente, análisis de una función con raíz cuadrada y cociente mediante desarrollos de Taylor, integrales con cambio de variable y acotaciones, serie de potencias según x, estudio de una función integral F(x) y convergencia de una…

Ejercicio 3. Examen Final 3. Composición, sucesiones y repr… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen Final 3: composición de funciones y derivadas, límites de sucesiones trigonométricas, funciones con valor absoluto y análisis completo de una función con logaritmo.

Ejercicio 4. Examen Final 4. Series de potencias, impropias… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen Final 4: a) Determinar el intervalo exacto de convergencia de f(x) = sum_{n=1}^infty x^n / (n 2^n), el intervalo de convergencia de su derivada f'(x) y la función elemental que representa. b) Estudiar la convergencia de int_0^infty [1+t^3]^{-1/2} dt y hallar los límites en +infty y en 0 de f(x) = (int_0^{x^2}…

Ejercicio 5. Examen Final 5. Monotonía, series numéricas e… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen con cuestiones de análisis matemático: estudio de monotonía e inyectividad de arctan(x) - (1/3)log(x), convergencia de serie por cociente, serie de potencias, límites mediante Taylor y dominancia, cálculo de integral de x arctan(x), convergencia de integral impropia y extremos y acotación de una función…

Ejercicio 7. Examen Final 7. Tangentes, áreas máximas, seri… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen Final 7 de Cálculo compuesto por 6 problemas: a) Puntos de la gráfica de f(x) = exp(x^2 - x) cuya tangente pasa por el origen. b) Dimensiones y área máxima de un rectángulo con lados paralelos a los ejes bajo f(x) = [x^3 + 4]^(-1/2). c) Valores de c para convergencia de serie sum (2c-1)^(n^2)/(n+1). d) Límite…

Ejercicio 8. Examen Final 8. Infinitésimos, raíces de funci… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen con infinitésimos equivalentes, teoremas de valor intermedio, series geométricas y áreas trigonométricas.

Ejercicio 10. Examen Final 10. Continuidad, regla de la cad… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen de análisis matemático: estudio de derivabilidad y continuidad de funciones con arcotangente, número de raíces por Bolzano y monotonía, derivación de integrales dependientes de parámetros mediante la regla de Leibniz, cálculo de integrales trigonométricas, radio y dominio de convergencia de series de potencias,…

Ejercicio 11. Examen Final 11. Problemas integrales globale… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen comprensivo con estudio de sucesiones, raíces por Bolzano, estudio de curvas y puntos de inflexión, extremos absolutos, áreas e integrales impropias, límites por Taylor, series numéricas, función integral y cálculo de primitivas.

Ejercicio 12. Control I (2016). Desigualdades, límites inde… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Control de cálculo diferencial (2016): determinación de conjuntos e inecuaciones fraccionarias y con valor absoluto, cálculo de límites indeterminados (1^inf y conjugado), estudio de número de raíces mediante monotonía, cálculo del área mínima de un triángulo delimitado por ejes y tangente a una parábola, y estudio…

Ejercicio 13. Extraordinary Test (June 2009). Ángulos entre… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Extraordinary Test (June 2009): Ángulos de corte y área entre y = mx e y = x^2, demostración de paridad impar de f(x) = log(√(x^2+1)-x), cálculo de límites, series y primitivas, límite de Riemann y volumen de la esfera por revolución.

Ejercicio 14. First Test (October 2008). Conjuntos en el pl… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

First Test (October 2008): Inecuación polinómica de tercer grado, representación en R^2 de |x| - |y| < 1, conjunto en polares, gráficas de función periódica y logarítmica con parte entera, límite 1^infinito y composición iterada de funciones f(f(x)).

Ejercicio 15. Second Test (November 2008). Aproximaciones d… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Problema 15 (Second Test, November 2008): Aproximación lineal de log 2 mediante la recta tangente a log x en x = e; Teorema del Valor Medio de Lagrange en [2, e]; distancia mínima de la hipérbola y = a/x al origen; cálculo del límite indeterminado lim_{x->0} (1 + x - sin x)^(1/x^3); propuesta y resolución de un…

Ejercicio 16. Third Test (November 2008). Potencial de Mors… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Problema 16 con cuatro apartados sobre el potencial de Morse V(x), aproximaciones de Taylor para log 2 y serie armónica alternada, convergencia de serie factorial con criterio del cociente, y sumación de la serie de Taylor de sin(x) evaluada en pi.

Ejercicio 17. Final Test (January 2009). Curvas, funciones… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

17. Final Test (January 2009). Problemas sobre representación gráfica de subconjuntos de R^2 y funciones, diseño de una función derivable a trozos, optimización del área de un triángulo formado por la tangente a una parábola, cálculo de límites y series infinitas, y determinación de la ecuación e integral del volumen…

Ejercicio 1 - Problema 4 (p. 1): Área entre curva y asíntota · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Determine el área de la superficie delimitada por la gráfica de f(x) = e^x / (1 + e^x), su asíntota horizontal para valores de x >= 0 y el eje de ordenadas.

Ejercicio 2 - Problema 5 (p. 1): Volumen de revolución por… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcule el volumen del cuerpo engendrado al rotar en torno al eje de abscisas la región comprendida entre las curvas y = sen(x/2), y = x, x en [0, 2π].

Ejercicio 3 - Problema 1 (Enero 2015): Continuidad, derivab… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Para la función a trozos dada por f(x)=(e^(x^2)+x^2-1)/x si x<0 y f(x)=x^3 ln(2+x) si x>=0: a) Examinar la continuidad y derivabilidad de f. b) Demostrar la existencia de un valor c > 0 tal que f(c) = 1.

Ejercicio 4 - Problema 2 (Enero 2015): Estudio completo y g… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Para f(x)=(2+x^2)e^(-x^2), determinar dominio, asíntotas, intervalos de monotonía, extremos relativos y puntos de inflexión, y trazar un esbozo de su gráfica.

Ejercicio 7 - Problema 5 (Enero 2015) - Apartado a: Integra… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcule la primitiva I = ∫ 2x arctan(x) dx.

Ejercicio 7 - Problema 5 (Enero 2015) - Apartado b: Teorema… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Sea la función f(x) definida a trozos como 5e^{ln(x)} si x en [0,1] y 6 - x si x en (1,6]. Determine la función integral G(x) = int_0^x f(t)dt y verifique el cumplimiento del Teorema Fundamental del Cálculo.

Ejercicio 8 - Problema 1 (Control 1 Mod A): Inyectividad, i… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la función f(x) = log(2x + 3): a. Razone si f es inyectiva. b. Describa el conjunto imagen de f. c. Determine el dominio de f^-1. d. Deduzca una expresión para f^-1(x).

Ejercicio 9 - Problema 2 (Control 1 Mod A): Límite con loga… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcular el límite cuando n tiende a infinito de (log n) / sqrt(|cos n| + (log n)^2).

Ejercicio 12 - Problema 1 (Control 1 Mod B): Inyectividad e… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Para la función real f(x) = e^(3x) - 2: justificar si es inyectiva, calcular su conjunto imagen, indicar el dominio de la función inversa f^(-1) y deducir la expresión analítica de f^(-1)(x).

Ejercicio 16 - Problema 1 (Mayo 2009): Continuidad multivar… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudie la continuidad de f(x,y) en el origen, la existencia de derivadas parciales en (0,0) y calcule la derivada direccional de g(x,y,z) = ln(e^x + e^y + e^z) en la dirección unitaria v = 1/sqrt(3)*(1,1,1).

Ejercicio 17 - Problema 2 (Cálculo II): Extremos sobre elip… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Para f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 2x - 4y en R = {(x, y) : x^2 + 4y^2 <= 4}, dibuje la región e identifique su frontera y calcule los extremos absolutos de f en R.

Ejercicio 18 - Problema 3 (Cálculo II): Integral doble en p… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcular la integral doble de (x^2 * e^(-a(x^2+y^2))) / (x^2+y^2) dxdy sobre la región D dada por x <= 0, y >= 0 comprendida entre x^2+y^2=4 y x^2+y^2=9 con a > 0.

Ejercicio 20 - Problema 5 (Cálculo II): Flujo mediante el t… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Considere el campo vectorial F(x, y, z) = (zx, zy, x^2 y^2). Calcule el flujo saliente de la superficie cerrada S = S1 U S2 formada por dos paraboloides con z entre -4 y 4.

Ejercicio 22 - Problema 1 (Control 3 Dic 2016): Cálculo de… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcule las primitivas de x^2/(x-1)^3 y (sen x + 3 cos x)/(sen x + 2 cos x), y la integral definida de sqrt(e^x - 1) entre 0 y ln 2.

Ejercicio 23 - Problema 2 (Control 3 Dic 2016): Recta tange… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = \int_{x^2}^{\sqrt{\pi}/2} tg(t^2) dt en el punto x = \sqrt[4]{\pi}/2.

Ejercicio 24 - Problema 3 (Control 3 Dic 2016): Área plana… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Halle el área del recinto acotado delimitado por y = x^2 e y = \sqrt{x}, y el volumen de revolución al rotar dicha región alrededor de y = 0.

Ejercicio 25 - Problema 4 (Control 3 Dic 2016): Longitud de… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcule la longitud de la curva dada por y = e^{x/2} + e^{-x/2} en el intervalo 0 <= x <= 2.

Ejercicio 27 - Problema 2 (Enero 2014): Estudio completo co… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la función f(x) = e^(1/(x-1))/(1-x), determine dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales y realice un esbozo de la gráfica.

Ejercicio 28 - Problema 3 (Enero 2014): Polinomio de Taylor… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en x_0 = 0 para f(x) = 1/√(1+x) y acote el error en el intervalo [0, 1/2].

Ejercicio 30 - Problema 5 (Enero 2014): Integrales y recta… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Problema 5 (Enero 2014): a) Calcular la integral definida I = ∫_0^(π²/4) cos(√x) dx. b) Para F(x) = ∫_1^(3x-2) e^t / (2+|cos(t-1)|) dt, justificar la existencia de la recta tangente en x = 1 y determinar su ecuación.

Ejercicio 31 - Problema 1 (Examen Final): Estudio comparado… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudio analítico comparado y representación gráfica de f(x) = sqrt(x^2 - 4x + 3) y g(x) = sqrt(|x^2 - 4x + 3|).

Ejercicio 33 - Problema 3 (Examen Final): Desarrollo en ser… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada g(x) = int_0^{x^2} ((cos t - 1)/t) dt: a) Hallar la serie de Taylor de g(x) en x=0. b) Calcular lim_{x->0} g(x)/x^4.

Ejercicio 36 - Examen 1 - Problema 1: Estudio de función y… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Examen 1 - Problema 1: a) Dibujar de forma justificada la gráfica de f(x) = √(│x│) / (x-1). b) Determinar el volumen de revolución generado al rotar la gráfica alrededor del eje OX entre x = 2 y x = 3.

Ejercicio 39 - Examen 1 - Problema 4: Cálculo de primitivas… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcula la primitiva indefinida de (e^(2x) + e^x)/(e^(2x) + 4) dx y evalúa la integral definida entre sqrt(2)/2 y 1 de x^3/sqrt(1-x^2) dx.

Ejercicio 42 - Examen 2 - Ejercicio 3 (1 pto.): Cálculo de… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcula el valor de los siguientes límites: a) lim_{x->0} (int_0^{x^2} e^{-2*sqrt{t}} dt - x^2 * e^{-2x}) / (x - sin x) b) lim_{x->infty} (x - sqrt{x^2 - 2x})^x

Ejercicio 44 - Examen 2 - Ejercicio 5 (1 pto.): Cálculo de… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcular las primitivas indefinidas de \int \sqrt{x} e^{-\sqrt{2x}} dx y de \int dx / (x^3 - 4x^2 + 4x).

Ejercicio 45 - Examen 2 - Ejercicio 6 (1 pto.): Optimizació… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Escribir la integral del volumen de revolución al girar la región bajo y = x e^{-x^2/2} en [a, 2a] en torno al eje X, y hallar el parámetro a que maximiza dicho volumen.

Ejercicio 46 - Examen 3 - Problema 1: Gráfica y área de fun… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudiar y representar la función f(x) = 1 / (1 + e^{-|x|}) y calcular el área comprendida entre la curva y su asíntota horizontal.

Ejercicio 49 - Examen 3 - Problema 4: Integración por fracc… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Examen 3 - Problema 4: a) Calcula la primitiva de (3x+8)/(x^3+4x). b) Evalúa la integral definida entre 1/sqrt(2) y 1 de (x^-2 - x^2)^(-1/2) dx.

Ejercicio 50 - Examen 4 - Problema 1 (3 p.): Continuidad, d… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Considera la función a trozos f(x) = ln(x^2) si |x| > 1 y -x^2+1 si |x| <= 1. a) Estudia razonadamente la continuidad y derivabilidad en todo su dominio. b) Halla todos los extremos locales y absolutos. c) Traza la gráfica representativa de f.

Ejercicio 53 - Examen 4 - Problema 4 (2 p.): Desarrollo de… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Sea f(x) = int_0^{x^2} (log(1+t)/t) dt. a) Determina el desarrollo en serie de Taylor de f(x) centrado en x = 0 a partir del desarrollo de log(1+t). b) Obtén el desarrollo de Taylor de f'(x) en x = 0 y determina si dicho punto es un extremo relativo.

Ejercicio 54 - Examen 4 - Problema 5 (2 p.): Integrales rac… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcula las primitivas: 1) ∫ dx / (x^4 + 2x^2) y 2) ∫_1^{e^2} log(√x) dx.

Ejercicio 56 - Examen 5 - Problema 1.3.6 [3 p.]: Límite con… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcula el valor del límite cuando x tiende a menos infinito de ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x-3)).

Ejercicio 57 - Examen 5 - Problema 2.3.3 [5 p.]: Estudio co… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Representa detalladamente en R la función f(x) = e^(2x)/(e^x - 1). Determina dominio, asíntotas, extremos relativos, intervalos de monotonía y concavidad/convexidad, justificando si presenta extremos absolutos y si es inyectiva o sobreyectiva.

Ejercicio 60 - Examen 6 - Ejercicio 3: Minimización de área… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Halla el valor de a > 0 que hace mínimo el área del sector parabólico AOB determinado por la parábola y = x² y su recta normal en A = (a, a²), siendo B el segundo punto de intersección.

Ejercicio 61 - Examen 6 - Ejercicio 4: Integral impropia ra… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcula el valor exacto de la integral impropia de 1 a +infinito de 1/(x(x^2+x+1)) dx.

Ejercicio 62 - Examen 7 - Ejercicio 1: Dominio, derivabilid… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada f(x) = raíz cúbica de (x^2 - 4)^2: determina dominio, aplicabilidad del teorema del valor medio en [0,3], intervalos de monotonía y concavidad, y polinomio de Taylor de orden 2 centrado en x=0 para aproximar f(0.2) acotando el error.

Ejercicio 63 - Examen 7 - Ejercicio 2: Serie de potencias y… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada f(x) = 1 + sum_{n=1}^inf x^(2n)/(2n)!, determina para qué valores converge, demuestra f'(x) + f(x) = e^x y obtén la expresión explícita de f(x).

Ejercicio 64 - Examen 7 - Ejercicio 3: Desarrollo en serie… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Desarrolla en potencias de (x - 1) la función f(x) = ln x y determina el intervalo exacto de convergencia.

Ejercicio 65 - Examen 7 - Ejercicio 4: Análisis de función… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la función $F(x) = \int_0^{1/x} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} + \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$ para $x \neq 0$, demuestra que $F(x) = -\pi/2$ si $x < 0$ y $F(x) = \pi/2$ si $x > 0$.

Ejercicio 67 - Examen 8 - Problema 2: Ecuación integrodifer… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Sea f(x) derivable en (-pi/2, pi/2) no nula que cumple int_0^x (tan t / f(t)) dt + 1/f(x) = 9 + cos(2x). Demuestra que f'(x) - f(x) tan x = 2 f^2(x) sin(2x) y calcula f(0).

Ejercicio 1. Problema 3. Convergencia y desarrollo en serie · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Problema 3 sobre convergencia y desarrollo en serie de una función integral a partir de la serie sum_(n=1)^oo ((n+1)/(n n!)) x^n.

Ejercicio 2. Problema 4. Serie de Fourier y función periódi… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Problema 4. Serie de Fourier y función periódica. Sea f(x) = g(x) - 1 con g de período 2 dada a trozos. Comprobar que f es periódica de período 2, que f es impar, hallar su serie de Fourier, estudiar la convergencia en [-1, 1] y calcular la suma de la serie numérica sum_{n=1}^infty (-1)^{n+1}/(2n-1).

Ejercicio 3. Problema 1. Derivabilidad y extremos locales · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada la función real f(x) = 3·x^(5/3) - 15·x^(2/3), analizar su derivabilidad en su dominio, determinar los puntos críticos y clasificar los máximos y mínimos locales.

Ejercicio 4. Problema 2. Convergencia de integrales impropi… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determina el carácter convergente o divergente de las integrales impropias integral de 2 a infinito de (ln(x)/x) dx y de 0 a 1 de x*ln(x) dx, calculando su valor cuando proceda.

Ejercicio 5. Problema 3. Ecuación diferencial a partir de i… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada la ecuación integral (1+x^2)f(x) = integral de 0 a x de t*f(t) dt, halla la EDO que satisface f(x) y encuentra la solución general f(x).

Ejercicio 7. Problema 1. Estudio de función racional y gráf… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada f(x) = 2x/(x - 1), determina dominio, recorrido, inyectividad, límites laterales en x=1, derivada, bosquejo de la gráfica y la función inversa x = g(y).

Ejercicio 9. Problema 1. Continuidad, extremos y función in… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea f: [-3, 6] -> R definida a trozos. a) Estudia continuidad y derivabilidad. b) Calcula los extremos absolutos en [-3, 6]. c) Determina la expresión explícita de F(x) = int_{-3}^x f(t) dt.

Ejercicio 11. Problema 1. Función definida mediante una int… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea f(x) = int_0^{x^2} e^t / (1 + cos^2 t) dt. a) Estudia crecimiento, decrecimiento y mínimo absoluto. b) Deduce lim_{x->inf} f(x). c) Demuestra paridad y lim_{x->-inf} f(x). d) Determina cuántas soluciones reales tiene f(x) = 100.

Ejercicio 14. Problema 1. Continuidad y diferenciabilidad c… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

14. Problema 1. Continuidad y diferenciabilidad con parámetros. a. Estudiar la continuidad de f(x) y de f'(x) en x = 0 para f(x) = x^2 sin(1/x) (x!=0) y 0 (x=0). b. Determinar continuidad y derivabilidad de g(x) según a.

Ejercicio 17. Problema 1. Derivabilidad y extremos con valo… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada f(x) = e^x / (1-|x|), determina si f es derivable en x = 0 y calcula el valor máximo y mínimo absolutos en [-1/2, 1/4].

Ejercicio 19. Problema 3. Convergencia puntual y uniforme d… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada fn(x) = e^{x-n}, determina si converge puntual y uniformemente en [0, \infty) y en (-\infty, 0].

Ejercicio 20. Problema 4. Primitiva y acotación de integral… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea f(x) = (x^2 + 2)/(x^4 + 4). a) Halla una primitiva de f(x) y calcula el valor exacto de la integral definida entre 0 y 1 de f(x) dx. b) Demuestra razonadamente que 1/2 <= int_0^1 f(x) dx <= 2/3.

Ejercicio 21. Problema 5. Cálculo de límite con desarrollos… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcula el valor del límite: lim_{x->0} [x ∫_0^x e^(-t^2) dt - arctan(x^2)] / log(1 + x^4)

Ejercicio 23. Examen 1 - Ejercicio 1. Optimización de trián… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar las coordenadas del punto P perteneciente a la curva f(x) = e^(-x) en el primer cuadrante de modo que el triángulo rectángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente a la curva en dicho punto encierre el área máxima.

Ejercicio 24. Examen 1 - Ejercicio 2. Límite en el infinito… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada la función g(x) = x^2 arctan(1/x) - sqrt(1+x), calcular el límite en infinito y una primitiva de la función.

Ejercicio 25. Examen 1 - Ejercicio 3. Aproximación numérica… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para H(x) = |x-1| * int_{-1}^x sin^3(t) dt, hallar una aproximación racional de H(0) con error menor a 10^-3 mediante serie y calcular H'(1).

Ejercicio 27. Examen 1 - Ejercicio 5. Convergencia de integ… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudiar los valores del parámetro real alpha para los cuales resulta convergente la integral impropia int_0^infty [x^3 + sin x]^alpha dx.

Ejercicio 29. Examen 2 - Ejercicio 2. Carácter de integrale… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Discutir la convergencia de las integrales impropias: a) int_1^infty (x + 2e^{cos x})/(x^3 + 2sqrt(2)) dx b) int_{-infty}^{-1} (x + 2e^{cos x})/(x^3 + 2sqrt(2)) dx

Ejercicio 31. Examen 2 - Ejercicio 4. Límite con indetermin… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular el límite lim_{x to infty} [cos(1/x)]^{ln x}

Ejercicio 32. Examen 2 - Ejercicio 5. Ceros reales de polin… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar cuántas raíces reales posee el polinomio P(x) cuya derivada es P'(x) = 3x^2 + 2x - 8 y cuya recta tangente en x = 0 pasa por el punto (1, -1).

Ejercicio 33. Examen 2 - Ejercicio 6. Área encerrada entre… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Hallar el área de la menor de las dos regiones acotadas delimitadas por la circunferencia x^2 + y^2 = 2 y la parábola x = y^2.

Ejercicio 34. Examen 2 - Ejercicio 7. Polinomio de Taylor y… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada f(x) = e^(2x - x^2), aproximar la integral en [0,1] mediante el polinomio de Taylor de orden 4 en x=0, y hallar los puntos donde H(x) = int_x^{x+1} f(t) dt alcanza su máximo y mínimo absolutos en [0,2].

Ejercicio 37. Examen 3 - Ejercicio 3. Representación gráfic… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Analizar la gráfica de la función y = ln(x^2 + 1/x). ¿Cuántos puntos de inflexión posee?

Ejercicio 38. Examen 3 - Ejercicio 4. Recta de área mínima… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

De entre todas las rectas que pasan por el punto (1, 2), determinar cuál es la que encierra con la parábola y = x^2 una región de área mínima.

Ejercicio 42. Examen 4 - Ejercicio 2. Mínima distancia a lo… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar, si existe, el punto sobre la gráfica de f(x) = 2 arctan(x - 2) para el cual es mínima la suma de sus distancias a los dos ejes coordenados.

Ejercicio 43. Examen 4 - Ejercicio 3. Convergencia uniforme… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar si la sucesión de funciones f_n(x) = (n+x)/(n+2) converge uniformemente en el intervalo [-2,2].

Ejercicio 44. Examen 4 - Ejercicio 4. Invertibilidad de fun… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

¿Posee función inversa la función f definida para todo x ≥ 2 mediante la expresión f(x) = ∫_2^{x^3} dt / log(t)?

Ejercicio 45. Examen 4 - Ejercicio 5. Carácter de integral… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar si es convergente la integral impropia de 1 a infinito de dx / x^(1 + 1/x).

Ejercicio 46. Examen 4 - Ejercicio 6. Integración racional… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular el valor exacto de la integral I = integral de 0 a 1 de x/(x^4 - 16) dx y aproximarlo por un número racional con error inferior a 10^(-2).

Ejercicio 48. Examen 5 - Ejercicio 2. Serie de Taylor y apr… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada f(x) = (36 + x^3)^(-1/2): hallar el desarrollo de Taylor en x=0 hasta x^6, y aproximar por números racionales con error menor a 10^(-2) a f(2) y f(-1).

Ejercicio 49. Examen 5 - Ejercicio 3. Máximo y mínimo de fu… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea H(x) = int_x^{2x} dt / sqrt(36+t^3) en [-1, 6]. Determinar los puntos x donde alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto.

Ejercicio 50. Examen 5 - Ejercicio 4. Extremos, curvatura y… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para la función f(x) = x^3 + 6 ln(2 - x), determinar el número de máximos locales y puntos de inflexión, dibujar aproximadamente su gráfica y calcular el área encerrada entre la curva y el eje x en [-1, 1].

Ejercicio 53. Examen 6 - Ejercicio 1. Mínimo, función inver… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para f(x) = x + 2cos(x), hallar el valor mínimo en [0,1], calcular (f^(-1))'(2) y calcular la integral definida de [f(x)]^2 entre -pi/2 y pi/2.

Ejercicio 54. Examen 6 - Ejercicio 2. Límites de cociente t… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para f(x) = sin^3(x) / (1 - e^(-x^3)), calcular los límites en 0, en -infinito y en +infinito.

Ejercicio 55. Examen 6 - Ejercicio 3. Integral definida de… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular la integral definida de f(x) = (sin(x^3)+1) / (int_{-1}^x sin(t^3) dt + x + 4) entre -1 y 1.

Ejercicio 57. Examen 6 - Ejercicio 5. Límite puntual y conv… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada la sucesión funcional f_n(x) = 1 / (1 + x^(2n)), hallar el límite puntual f(x) = lim_{n->oo} f_n(x) para todo x en R y estudiar si converge uniformemente en [0, 2].

Ejercicio 59. Examen 7 - Ejercicio 1. Derivada y extremos e… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea f(x) = int_0^{x-x^3} dt / sqrt(2 - sin^2 t). Hallar f'(x) y su dominio de validez. Determinar los puntos de [0, 2] donde alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos.

Ejercicio 60. Examen 7 - Ejercicio 2. Límite, imagen, orden… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada f(x) = (1 - e^(-x))/x para x != 0 y f(0) = 1, calcular f'(0), los límites en ±∞ y la imagen de f, f^(2003)(0) mediante desarrollo en serie de Taylor y estudiar el crecimiento/decrecimiento de f.

Ejercicio 61. Examen 7 - Ejercicio 3. Recta tangente con pe… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Hallar, si existe, un punto del intervalo (0, 1) en el que la recta tangente a f(x) = arctan(x / (2-x)) sea paralela a la recta por (0, 0) y (1, pi/4).

Ejercicio 63. Examen 7 - Ejercicio 5. Primitiva e integral… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para f(x) = x log(1 + 4/x^2), hallar una primitiva y estudiar la convergencia de la integral impropia de 1 a infinito.

Ejercicio 64. Examen 8 - Ejercicio 1. Límites trigonométric… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular los límites de h(x) = (arctan(x) - sinh(x))/(x(cosh(x) - cos(x))) cuando x tiende a 0 y cuando x tiende a infinito.

Ejercicio 65. Examen 8 - Ejercicio 2. Descomposición en fra… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para g(x) = (x^3 + x^2 - 7)/(x^3 - 2x^2 + x - 2), calcular la primitiva G(x) que cumple G(0) = -1 y probar mediante Bolzano y monotonía que existe un único c en (0, 1) con G(c) = 0.

Ejercicio 68. Examen 8 - Ejercicio 5. Extremos y convergenc… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para cada n en N se define fn(x) = integral entre x y 2x de dt/(t^3+6n^6) en [0, infinito). a) Determinar en qué punto x >= 0 alcanza su valor máximo fn(x). b) Probar que la serie suma_{n=1}^infty fn(x) converge uniformemente en [0, infinito).

Ejercicio 69. Examen 8 - Ejercicio 6. Desarrollo de Taylor… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea f(x) = x(1+x^3)^(-1/5). a. Hallar los 3 primeros términos no nulos de Taylor en 0. b. Aproximar f(1/2) mediante un número racional con error < 10^-3.

Ejercicio 71. Examen 9 - Ejercicio 3. Convergencia puntual… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudiar la convergencia puntual y uniforme en [0, 1] de: a. La sucesión f_n(x) = x / sqrt(n^3 + x) b. La serie de funciones sum_{n=1}^inf f_n(x)

Ejercicio 72. Examen 9 - Ejercicio 2. Derivabilidad en cero… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada la función f(x) = cos(sqrt(|x|)), se pide estudiar si es derivable en x = 0, hallar los valores máximo y mínimo absolutos en [-4, 1] y calcular la integral definida entre -4 y 4 de f(x) dx.

Ejercicio 76. Examen 10 - Ejercicio 2. Continuidad, derivad… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea f(x) = (1 - 1/x) log|1 - x^2| para x no perteneciente a {-1, 0, 1} y f(-1) = f(0) = f(1) = 0. Estudiar los puntos en los cuales f es continua, determinar si existe f'(0) y probar que existe c in (0, 1) tal que f'(c) = 0.

Ejercicio 78. Examen 10 - Ejercicio 4. Integración por sust… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular la integral definida de cos(x)/(3*sin(x) - 2*cos^2(x)) entre -pi/6 y 0.

Ejercicio 81. Examen 11 - Ejercicio 5. Integración racional… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular el valor exacto de la integral definida int_4^5 dx / (x - 4*sqrt(x-4)).

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