Problema 35 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1) (2016)

Enunciado

35 Mayo 2009 - Problema 1. Continuidad y cálculo diferencial multivariable

Se considera la función en el plano:

f(x,y)={x+yx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}

a.

Estudiar las propiedades de continuidad de ff en todo el plano.

b.

Calcular las derivadas parciales de f(x,y)f(x,y) en el origen (0,0)(0,0), si existen.

c.

Determinar el gradiente de la función g(x,y,z)=log⁡(ex+ey+ez)g(x,y,z) = \log(e^x + e^y + e^z) y calcular su derivada direccional a lo largo del vector unitario v=13(1,1,1)\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Enunciado: Problema 35 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Estudiar las propiedades de continuidad de f en todo el plano.

Solución: Continua en todo R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} y discontinua en (0,0)(0,0).

b. Calcular las derivadas parciales de f(x,y) en el origen (0,0), si existen.

Solución: No existen las derivadas parciales en el origen.

Determinar el gradiente de la función g(x,y,z) = log(e^x + e^y + e^z)

Solución: 1ex+ey+ez(ex,ey,ez)\frac{1}{e^x + e^y + e^z}(e^x, e^y, e^z)

Calcular su derivada direccional a lo largo del vector unitario v = 1/sqrt(3)(1,1,1).

Solución: 13\frac{1}{\sqrt{3}}

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