Ejercicio 17. Final Test (January 2009). Curvas, funciones… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Enunciado

17 Final Test (January 2009). Curvas, funciones derivables y sólidos de revolución

a.

Dibujar los siguientes subconjuntos de R2\mathbb{R}^2:

1. A={(x,y)∈R2:x2+4y2≤1, xy>0}A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + 4y^2 \le 1,\ xy > 0\}

2. B={(r,θ):π/2<r<θ, θ∈[0,2π]}B = \{(r,\theta): \pi/2 < r < \theta,\ \theta \in [0, 2\pi]\}

b.

Representar las gráficas cualitativas de:

1. f1(x)=1+∣sin⁡(2x)∣2f_1(x) = \frac{1+|\sin(2x)|}{2}

2. f2(x)=sin⁡(1/x)f_2(x) = \sin(1/x)

3. f3(x)=1/sin⁡xf_3(x) = 1/\sin x

4. f4(x)=arcsin⁡xf_4(x) = \arcsin x

c.

Diseñar una función derivable f(x)f(x) en R\mathbb{R} tal que f(x)=0f(x) = 0 para x<0x < 0 y f(x)=1f(x) = 1 para x>2x > 2.

d.

Hallar el área del triángulo determinado por los dos ejes coordenados y la recta tangente a la parábola y=1−x2y = 1 - x^2 que tenga área mínima en el primer cuadrante.

e.

Calcular los límites y sumas:

f.

Considerar la revolución alrededor del eje yy del círculo de radio bb centrado en (a,0)(a, 0) con a>ba > b:

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Dibujar los subconjuntos de R^2: 1. A = {x^2 + 4y^2 <= 1, xy > 0}; 2. B = {pi/2 < r < theta, theta en [0, 2pi]}. b. Gráficas cualitativas de f1, f2, f3 y f4.

Solución: a.1. Interior de la elipse de semiejes 1 y 1/2 en cuadrantes I y III: a.2. Región espiral comprendida entre r = pi/2 y r = theta para theta en [pi/2, 2pi]: b. Gráficas cualitativas de f1, f2, f3 y f4:

c. Diseñar una función derivable f(x) en R tal que f(x) = 0 para x < 0 y f(x) = 1 para x > 2.

Solución: f(x) = (1/2)*(1 - cos(pi*x/2)) para x en [0,2] / f(x) = (3/4)*x^2 - (1/4)*x^3 para x en [0,2]

d. Hallar el área del triángulo determinado por los dos ejes coordenados y la recta tangente a la parábola y = 1 - x^2 que tenga área mínima en el primer cuadrante.

Solución: (4*sqrt(3))/9 / 4*sqrt(3)/9

e. 1. Calcular el límite: lim_{x->infty} (1 + 1/x)^(log x)

Solución: 1

e. 2. Calcular la suma: sum_{n=0}^infty (2^(n+1) - 3^(n+2)) / 4^n

Solución: -32

e. 3. Calcular la suma: sum_{n=0}^infty (-1)^n / (2n+1)! * (pi/2)^(2n+1)

Solución: 1

f. 1. Escribir la ecuación del círculo de radio b centrado en (a, 0) con a > b.

Solución: (x - a)^2 + y^2 = b^2

f. 2. Expresar el volumen del toro generado mediante una integral.

Solución: 4*pi*a*int_(-b)^b sqrt(b^2 - z^2) dz / pi*int_(-b)^b ((a + sqrt(b^2 - z^2))^2 - (a - sqrt(b^2 - z^2))^2) dz

f. 3. Evaluar dicha integral para obtener el volumen final.

Solución: 2*pi^2*a*b^2

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