Ejercicio 8 - Problema 1 (Control 1 Mod A): Inyectividad, i… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Enunciado

8 Problema 1 (Control 1 Mod A): Inyectividad, imagen e inversa

Dada la función f(x)=log⁡(2x+3)f(x) = \log(2x + 3):

a.

Razone detalladamente si ff es inyectiva. [0,5 puntos]

b.

Describa el conjunto imagen de ff. [0,5 puntos]

c.

Determine el dominio de la función inversa f−1f^{-1}. [0,5 puntos]

d.

Deduzca una expresión para f−1(x)f^{-1}(x). [0,5 puntos]

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Razone detalladamente si f es inyectiva.

Solución: Sí, es inyectiva. El dominio es (−3/2,+∞)(-3/2, +\infty). Su derivada f′(x)=22x+3>0f'(x) = \frac{2}{2x+3} > 0 es estrictamente positiva en todo el dominio; al ser estrictamente creciente, es inyectiva.

b. Describa el conjunto imagen de f.

Solución: R\mathbb{R} / (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

c. Determine el dominio de la función inversa f^{-1}.

Solución: R\mathbb{R} / (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

d. Deduzca una expresión para f^{-1}(x).

Solución: ex−32\frac{e^x - 3}{2}

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