Problema 58 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

a) Calcule la integral indefinida: $\int \frac{3x - 4}{(x^2 + 2x + 4)^2}\, dx$

Solución: $-\frac{7x+16}{6(x^2+2x+4)} - \frac{7\sqrt{3}}{18}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right) + C$

b) Esboce la gráfica de la función $f(x) = \frac{x}{\ln x}$.

Solución: Gráfica de $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ en $(0, 1) \cup (1, \infty)$ con asíntota vertical en $x = 1$ ($\\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty$), $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$, rama infinita en $+\infty$ con pendiente asintótica nula, y mínimo local en $(e, e)$.