Ejercicio 15. Second Test (November 2008). Aproximaciones d… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a.1. Estimar el valor de log 2 empleando la recta tangente a f(x) = log x en el punto x = e.

Solución: $2/e$ / $0{,}7358$

a.2. El Teorema del Valor Medio de Lagrange en el intervalo [2, e]. Discutir los resultados obtenidos.

Solución: $2 - e/2 < \log 2 < 2/e$

b. Hallar los puntos de la hipérbola y = a/x que se encuentran a distancia mínima del origen de coordenadas.

Solución: $(\sqrt{|a|}, \operatorname{sign}(a)\sqrt{|a|})$ y $(-\sqrt{|a|}, -\operatorname{sign}(a)\sqrt{|a|})$

c. Calcular el siguiente límite: lim_{x -> 0} (1 + x - sin x)^(1/x^3)

Solución: $e^{1/6}$

d. Proponer y resolver un problema de optimización o aproximación adaptado al temario de cálculo diferencial.

Solución: Problema propuesto: Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Solución: h = 2R/√3, r = R√(2/3).