Ejercicio 65. Examen 8 - Ejercicio 2. Descomposición en fra… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

a. Calcular la primitiva G(x) de g(x) que cumple G(0) = -1.

Solución: $G(x) = x + \ln|x - 2| + \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x - 1 - \ln 2$

b. Probar que g(x) > 1 para todo x en [0, 1] y que existe un único c en (0, 1) tal que G(c) = 0.

Solución: Estudiamos $g(x) - 1 = \frac{3x^2 - x - 5}{(x - 2)(x^2 + 1)}$. En $[0, 1]$, el denominador es estrictamente negativo ($(x - 2) < 0$ y $x^2 + 1 > 0$). El numerador satisface $3x^2 - x - 5 \le 3 - 0 - 5 = -2 < 0$. Como numerador y denominador son negativos, su cociente es estrictamente positivo: $g(x) - 1 > 0 \implies g(x) > 1$. Por el Teorema Fundamental del Cálculo, $G'(x) = g(x) > 1 > 0$, luego $G$ es estrictamente creciente en $[0, 1]$. Evaluando en los extremos: $$G(0) = -1 < 0, \quad G(1) = 1 + 0 + \ln 2 + \frac{3\pi}{4} - 1 - \ln 2 = \frac{3\pi}{4} > 0$$ Por el teorema de Bolzano y la estricta monotonía, existe un único $c \in (0, 1)$ tal que $G(c) = 0$.