Ejercicio 11. Problema 1. Función definida mediante una int… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea la función definida por:

$$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{e^t}{1 + \cos^2 t}\,dt$$

a)

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. ¿Posee mínimo absoluto? En caso afirmativo, ¿dónde lo alcanza y cuánto vale?

b)

Justifica la desigualdad $\int_0^{x^2} \frac{e^t}{1 + \cos^2 t}\,dt \ge \int_0^{x^2} \frac{e^t}{2}\,dt$ y deduce a partir de ella el valor de $\lim_{x \to \infty} f(x)$.

c)

Demuestra que $f(x)$ es una función par y deduce el límite cuando $x \to -\infty$.

d)

¿Posee la ecuación $f(x) = 100$ alguna solución real? ¿Cuántas? Justifica la respuesta.