Problema 65 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1) (2016)

Enunciado

Febrero 2002 - Problema 1: Continuidad y diferenciabilidad

Analice la continuidad y la derivabilidad en el punto x=0x = 0 de la función: f(x)={(sen⁡x)x,si x>01,si x≤0f(x) = \begin{cases} (\operatorname{sen} x)^x, & \text{si } x > 0 \\ 1, & \text{si } x \le 0 \end{cases}

a)

¿Es ff continua en x=0x = 0?

Sí

No

b)

¿Es ff derivable en x=0x = 0?

Sí

No

Enunciado: Problema 65 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Continuidad y derivabilidad en x = 0

Solución: Continua: Sí; Derivable: No

Justificación detallada del cálculo de los límites laterales de continuidad y derivabilidad:

Solución: Continuidad: lim (x->0+) (sen x)^x = e^(lim x ln(sen x)) = e^0 = 1 = f(0). Derivabilidad: f'_+(0) = lim (x->0+) ((sen x)^x - 1)/x = -inf, no finita.

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