Ejercicio 68. Examen 8 - Ejercicio 5. Extremos y convergenc… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Exámenes de Cálculo - Parte 1

Enunciado

Para cada n∈Nn \in \mathbb{N} se define la función fn(x)=∫x2xdtt3+6n6f_n(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{t^3+6n^6} en [0,∞)[0, \infty).

a.

Determinar en qué punto x≥0x \ge 0 alcanza su valor máximo la función fn(x)f_n(x).

b.

Probar que la serie de funciones ∑n=1∞fn(x)\sum_{n=1}^\infty f_n(x) converge uniformemente en [0,∞)[0, \infty).

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determinar en qué punto x ≥ 0 alcanza su valor máximo la función fn(x).

Solución: n2n^2

b. Probar que la serie de funciones ∑_{n=1}^∞ fn(x) converge uniformemente en [0, ∞).

Solución: Acotando fn(x)≤fn(n2)≤16n4f_n(x) \le f_n(n^2) \le \frac{1}{6n^4}, la serie numérica ∑n=1∞16n4\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{6n^4} converge, luego por el criterio M de Weierstrass la serie converge uniformemente en [0,∞)[0, \infty).

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