Ejercicio 76. Examen 10 - Ejercicio 2. Continuidad, derivad… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Exámenes de Cálculo - Parte 1

Enunciado

76. Examen 10 - Ejercicio 2. Continuidad, derivada y teorema de Rolle

Sea f(x)=(1−1x)log⁡∣1−x2∣f(x) = \left(1 - \frac{1}{x}\right) \log |1 - x^2| para x∉{−1,0,1}x \notin \{-1, 0, 1\} y f(−1)=f(0)=f(1)=0f(-1) = f(0) = f(1) = 0.

a.

Estudiar los puntos en los cuales ff es continua.

b.

Determinar si existe la derivada f′(0)f'(0) y probar que existe algún c∈(0,1)c \in (0, 1) tal que f′(c)=0f'(c) = 0.

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Estudiar los puntos en los cuales f es continua.

Solución: R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\}

b. Determinar si existe la derivada f'(0)

Solución: 1

b. Probar que existe algún c in (0, 1) tal que f'(c) = 0.

Solución: Como f es continua en [0, 1], diferenciable en (0, 1) y f(0) = f(1) = 0, por el Teorema de Rolle existe al menos un punto c in (0, 1) tal que f'(c) = 0.

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