Problema 1 (Extraord. 15 Jun 2017) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Dibuje la gráfica de la función periódica $f(x) = \frac{1}{1+\operatorname{tg} x}$ indicando sus asíntotas, monotonía y puntos de inflexión.

Solución: Función periódica de periodo $\pi$. En $(-\pi/2, \pi/2]$: - Asíntota vertical en $x = -\pi/4$ con $\lim_{x\to -\pi/4^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x\to -\pi/4^+} f(x) = +\infty$. - Estrictamente decreciente en todo su dominio ($f'(x) < 0$). - Punto de inflexión en $x = \pi/4$, con concavidad convexa en $(-\pi/4, \pi/4)$ y cóncava en $(-\pi/2, -\pi/4) \cup (\pi/4, \pi/2)$. - En los extremos $x \to \pm\pi/2$, $\lim f(x) = 0$.