Problema 5 (8 Sep 2004) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

Dada la función F(x)=∫01sksen⁡(sx) dsF(x) = \int_0^1 s^k \operatorname{sen}(sx)\,ds con k>0k > 0 y x≥0x \ge 0:

a)

[0,5 puntos] Demuestre que si x>0x > 0,F(x)=1xk+1∫0xtksen⁡t dt.F(x) = \frac{1}{x^{k+1}} \int_0^x t^k \operatorname{sen} t\,dt.Escriba el cambio de variable t(s)t(s) utilizado para transformar la integral:

b)

[0,75 puntos] Halle la derivada por la derecha F′(0+)F'(0^+) y verifique que FF es derivable en [0,∞)[0, \infty).

c)

[0,75 puntos] Justifique que satisface la relación diferencial:xF′(x)+(k+1)F(x)=sen⁡x,∀x∈[0,∞).xF'(x) + (k+1)F(x) = \operatorname{sen} x, \quad \forall x \in [0, \infty).

<div v-if="showFeedback" class="exam-feedback":class="{ correct: totalPoints === maxPoints, incorrect: totalPoints < maxPoints }">

Enunciado: Problema 5 (8 Sep 2004) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demuestre que si x > 0, F(x) = 1/x^{k+1} ∫_0^x t^k sen t dt.

Solución: t=sxt = sx

b. Halle la derivada por la derecha F'(0+) y verifique que F es derivable en [0, ∞).

Solución: 1k+2\frac{1}{k+2}

c. Justifique que satisface la relación diferencial: x F'(x) + (k+1)F(x) = sen x, ∀x ∈ [0, ∞).

Solución: Derivando el producto F(x) = x^{-(k+1)} ∫_0^x t^k sen t dt por regla de Leibniz y multiplicando por x.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 3 (8 Sep 2004) · 2016 · Ejercicio 4 (Hoja 3) · 2016 ›

Más ejercicios de Funcions entre conjunts