Ejercicios de Mètodes de demostració

48 ejercicios de Mètodes de demostració que han salido en los exámenes de Fonaments Matemàtics de la UPC (Grado en Ingeniería Informática) 2016. Con solución.

Problema 21 · 2016

Dada la función f(x) = 2x - 1, calcula el límite L = lim_{x->3} f(x), encuentra delta para epsilon = 0.01 y expresa delta en función de epsilon para asegurar la definición formal de límite.

Problema 25 · 2016

Dada f(x) = 3x + 1: a) Calcular L = lim_{x->3} f(x). b) Hallar delta para |f(x) - L| < 0.05 cuando 0 < |x - 3| < delta. c) Dar delta en función de epsilon.

Problema 57 · 2016

Dada la función integral F(x) = ∫_1^x e^(√t - 1) dt, calcular el polinomio de Taylor de grado 2 en x = 1, aproximar F(5/4) mediante dicho polinomio y acotar el error cometido.

Problema 61 · 2016

Enunciar el TFC, estudiar la continuidad y derivabilidad en x=1 de F(x)=int_0^x f(t)dt con f(t) definida a trozos y calcular la integral indefinida int (2x+1)/(x^2-2x+5)^2 dx.

Problema 63 · 2016

Dada la función integral F(x) = ∫₁ˣ e^(∛t - 1) dt: a) Enunciar el teorema de Taylor con resto de Lagrange. b) Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en x = 1. c) Aproximar F(5/4) con dicho polinomio. d) Proporcionar una cota superior del error cometido.

Problema 66 · 2016

Febrero 2002 - Problema 2: a. Enuncie con precisión el Teorema de Rolle. b. Determine el número exacto de soluciones reales que posee la ecuación x³ + x² + x + 5 = 0, aportando una cota o aproximación numérica de cada una.

Problema 70 · 2016

Teorema del valor medio y tangentes: a) Enuncie y demuestre el Teorema del Valor Medio de Lagrange, aportando su correspondiente interpretación geométrica. b) Encuentre un punto sobre el arco de la parábola y = x^2 comprendido entre A(1, 1) y B(3, 9) en el cual la recta tangente sea paralela a la cuerda que une dichos…

Problema 73 · 2016

Estudie la convergencia de la integral impropia de (1 - cos x)/x^2 entre -infinito e infinito.

Problema 78 · 2016

Encontrar los valores del parámetro a \in \mathbb{R} para los cuales \int_0^\infty (x + \operatorname{sen}\sqrt{x})^a\,dx converge.

Problema 4 (8 Sep 2004) · 2016

Calcule la longitud de la cardioide definida en coordenadas polares por r(θ) = a(1 + cos θ) con θ ∈ [0, 2π] y a > 0.

Ejercicio 3 (Hoja 3) · 2016

Calcule el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de (2*int(sen(t^2)/t, t, 0, sqrt(x)) - x) / x^3.

Ejercicio 2 (Hoja 1) · 2016

Demuestre que la ecuación 2x + sen(pi*x/2) = 10/(1+sqrt(x)) posee una única solución en [0, inf) y halle un intervalo de enteros consecutivos [n, n + 1] que la contenga.

Problema 2 (Control 3b, 21 Dic 2015) · 2016

Calcule la integral definida int_0^{1/2} (x^3 / sqrt(1 - x^2)) dx.

Problema 3 (Control 3, 17 Dic 2015) · 2016

Calcule uno de los siguientes límites: a. lim_{x->0} (\int_0^{x^2} e^{t^2} dt - x^2) / x^6; b. lim_{x->0^+} (\int_0^x (sen t)/t dt) / (1 - cos(\sqrt{x})).

Problema 3 (Control 1, 24-10-2016) · 2016

Determina razonadamente el número exacto de soluciones reales que posee la ecuación log(x + 2) = x - 1 en el intervalo [0, ∞).

Problema 3 (Control 3, 19-12-2016) · 2016

Calcula el valor exacto de la integral definida: int_1^2 (sqrt(x^2 - 1)/x) dx.

Problema 3 (Control 3 variante, 19-12-2016) · 2016

Calcula el valor exacto de la integral definida int_1^2 (sqrt(x^2-1)/x) dx.

Problema 1 (Control 2, 29-11-2016) · 2016

Calcula el siguiente límite haciendo uso del Teorema de Taylor: \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) - 6x^2 - 2xe^{-3x}}{x^3}

Ejercicio 6. Examen Final 6. Asíntotas, convergencia unifor… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

6. Examen Final 6. Asíntotas, convergencia uniforme y fórmulas de Taylor. Consta de 6 apartados: a) Límites de f(x)=(x^2+1)e^(3x-x^2), demostración de que f' tiene un único cero y número de soluciones de f(x)=1. b.1) Límite puntual y convergencia uniforme de fn(x)=(sin x)^n en [0, pi]. b.2) Polinomio de Taylor de…

Ejercicio 9. Examen Final 9. Taylor hiperbólico, alternadas… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Examen final sobre funciones hiperbólicas, desarrollo de Taylor, serie alternada, regla de l'Hôpital/Taylor, integración por partes, extremos de una integral con parámetros, radio e intervalo de convergencia, convergencia uniforme, integración de funciones racionales e integral impropia.

Ejercicio 5 - Problema 3 (Enero 2015): Aproximación con Tay… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Aproximar cos(1/2) con un error absoluto inferior a 10^(-3) usando un polinomio de Taylor de f(x)=cos(x) en x_0 = 0.

Ejercicio 19 - Problema 4 (Cálculo II): Integral triple en… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Calcule la integral triple sobre la región tetraédrica: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} \frac{dzdydx}{(x+y+z+1)^3}$

Ejercicio 21 - Problema 1 (EDO): Problema de Cauchy mediant… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Resuelva mediante la transformada de Laplace el problema de valor inicial: \begin{cases} y'(t) - y(t) = 2(e^t \cos 2t - e^{-t}) \\ y(0) = 1 \end{cases}

Ejercicio 26 - Problema 1 (Enero 2014): Unicidad de raíz de… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Demuestre rigurosamente que la ecuación 2x^3 - 9x^2 + 12x + 10 = 0 posee una única solución real.

Ejercicio 35 - Problema 5 (Examen Final): Integración y vol… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Problema 5 (Examen Final): a) Calcular la primitiva ∫ arctg(x) dx. b) Calcular el volumen generado al rotar {0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x/√(25-x²)} alrededor del eje de abscisas.

Ejercicio 40 - Examen 2 - Ejercicio 1 (1 pto.): Desigualdad… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Demuestra formalmente la validez de la desigualdad x/(1+x^2) < arctan(x) < x para todo x > 0.

Ejercicio 43 - Examen 2 - Ejercicio 4 (1 pto.): Polinomio d… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Aproximar log(6/5) mediante el polinomio de Taylor de orden 4 y acotar el error absoluto mediante el resto de Lagrange.

Ejercicio 51 - Examen 4 - Problema 2 (1 p.): Límite de medi… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Sea {a_n} una sucesión de números reales positivos tal que lim a_n = L. Calcula lim_{n->inf} (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)/n.

Ejercicio 58 - Examen 6 - Ejercicio 1: Teoremas de Bolzano… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Demuestra que x^2 = x sin x + cos x posee exactamente dos soluciones reales. b. Demuestra que para todo x en R se verifica 1 - x^2/2 <= cos x.

Ejercicio 66 - Examen 8 - Problema 1: Estudio analítico com… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la función f(x) = 1 + e^x(1 - x): estudiar crecimiento, extremos, límite en -infinito, unicidad de cero y concavidad con esbozo de la gráfica.

Ejercicio 12. Problema 2. Ecuaciones diferenciales ordinari… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

a) Demuestra que y = 10x^{-2}[G(x) - G(1)] con G(x) = int_0^x (sin t)/t dt es solución de x^3 y' + 2x^2 y = 10 sin x con y(1) = 0. b) Resuelve y'' + y' = x con Y = y'.

Ejercicio 22. Problema 6. Convergencia de integral impropia… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudia la convergencia de la integral impropia ∫_1^∞ [arctan(x + 1/x) / (1 + x^2)^a] dx en función del parámetro real a.

Ejercicio 30. Examen 2 - Ejercicio 3. Continuidad mediante… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Demostrar formalmente, utilizando de forma exclusiva la definición épsilon-delta, que la función f(x) = 1 + sqrt(4+x) es continua en x = 0.

Ejercicio 35. Examen 3 - Ejercicio 1. Divergencia del produ… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Demostrar rigurosamente que si la sucesión {a_n} está acotada y sus únicos puntos de acumulación son 10^7 y 10^(-7), y {b_n} diverge hacia +infinito, entonces {a_n b_n} diverge hacia +infinito.

Ejercicio 39. Examen 3 - Ejercicio 5. Rango de enteros medi… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

¿Para qué valores enteros de n se verifica la desigualdad 3 < \int_0^1 \frac{nx}{4 + x^4} dx < 4?

Ejercicio 40. Examen 3 - Ejercicio 6. Límites de integral d… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Calcular el valor de lim (1/x) ∫_0^x e^(2t-t^2) dt en dos casos: a) cuando x -> 0, b) cuando x -> ∞.

Ejercicio 47. Examen 5 - Ejercicio 1. Número de raíces real… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Discutir el número de soluciones reales de e^x = ax en función de los valores de la constante real a.

Ejercicio 51. Examen 5 - Ejercicio 5. Convergencia absoluta… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar razonadamente si la serie numérica converge: sum_{n=1}^infty sin(n)/sqrt(n^3 + cos^3(n)).

Ejercicio 52. Examen 5 - Ejercicio 6. Discusión de integral… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Discutir la convergencia de la integral impropia de [n/ln(1+x) - 1/x] en [0,1] en función del parámetro n en N.

Ejercicio 58. Examen 6 - Ejercicio 6. Convergencia de integ… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudiar la convergencia de la integral impropia: $\int_{4}^{\infty} \frac{\arctan(1/x)}{(2x - 8)^{1/3}} \, dx$

Ejercicio 66. Examen 8 - Ejercicio 3. Impropia de segunda e… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar razonadamente si converge la integral impropia de segunda especie int_{2^+}^3 sqrt(g(x)) dx con g(x) = (x^3+x^2-7)/((x-2)(x^2+1)).

Ejercicio 67. Examen 8 - Ejercicio 4. Convergencia de serie… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

a. Encontrar todos los valores de a ∈ ℝ para los que converge la serie sum(n=1 to ∞) (a^n+2)/(e^n+n). b. Determinar la región del plano complejo donde converge la serie sum(n=1 to ∞) z^n/(e^n+n).

Ejercicio 70. Examen 9 - Ejercicio 1. Serie geométrica eval… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar los valores de x para los cuales la serie geométrica sum_{n=0}^infty (-2x)^{3n} converge, y decidir si converge para x = arctan(3/5).

Ejercicio 73. Examen 9 - Ejercicio 4. Bisección de área por… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Considérese la región del cuarto cuadrante delimitada por el eje de abscisas y la curva f(x) = -e^(-ax) (con a > 0). Demostrar que la recta tangente en x = 0 divide dicha región en dos figuras de igual área.

Ejercicio 74. Examen 9 - Ejercicio 5. Carácter de impropia… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada F(x) = ∫_2^x dt/√(log t + t), determinar el carácter de la integral impropia lim_{x→∞} F(x) y calcular el límite lim_{x→∞} F(2x)/F(x).

Ejercicio 77. Examen 10 - Ejercicio 3. Polinomio de Taylor… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Aproximar el valor de log(3/4) mediante un polinomio de Taylor de orden 2 y dar una cota explícita del error cometido.

Ejercicio 80. Examen 10 - Ejercicio 6. Impropia mediante in… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudiar la convergencia de la integral impropia entre 0 y 1 de (e^x - cos x)/x^(3/2) dx.

Ejercicio 82. Examen 11 - Ejercicio 6. Convergencia de inte… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudiar la convergencia de la integral impropia de x/(x^n - 8) entre 2 e infinito en función de n natural.

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