Ejercicio 67 - Examen 8 - Problema 2: Ecuación integrodifer… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Sea $f(x)$ una función derivable en $(-\pi/2, \pi/2)$ que no se anula en ningún punto de dicho intervalo y que satisface la ecuación:$$\int_0^x \frac{\tan t}{f(t)}\,dt + \frac{1}{f(x)} = 9 + \cos(2x)$$

a)

Al derivar ambos miembros de la ecuación respecto a $x$ mediante el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, se obtiene una igualdad de la forma:$$\frac{\tan x}{f(x)} - \frac{f'(x)}{f^2(x)} = g(x)$$Indica la derivada del miembro derecho, $g(x) = \frac{d}{dx}\bigl(9 + \cos(2x)\bigr)$:

Multiplicando toda la igualdad por $-f^2(x)$ queda demostrada la relación: $f'(x) - f(x)\tan x = 2f^2(x)\sin(2x)$.

b)

Calcula el valor de $f(0)$: