Ejercicio 14. First Test (October 2008). Conjuntos en el pl… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. Hallar el conjunto de números reales que verifican la inecuación: {x in R : x^3 - 6x^2 + 11x - 6 >= 0}

Solución: $[1, 2] \cup [3, +\infty)$

b. Representar en el plano cartesiano el conjunto: {(x, y) in R^2 : |x| - |y| < 1} y d. Dibujar las gráficas de f(x) y g(x)

Solución: b. La desigualdad equivale a $|y| > |x| - 1$, región exterior a las asíntotas y franjas determinadas por $y = \pm(x - 1)$ e $y = \pm(x + 1)$. d. Gráfica de $f(x) = |\cos(2\pi x)| + 1$, periódica de periodo $1/2$ oscilando entre $1$ y $2$; y de $g(x) = \log(x - [x])$, periódica de periodo $1$ con asíntotas verticales en cada entero $x = k$.

c. Describir geométricamente el conjunto dado en coordenadas polares: {(r, theta) : pi/2 < r < theta, theta in [0, pi]}

Solución: Región en el semiplano superior comprendida entre la circunferencia $r = \pi/2$ y la espiral de Arquímedes $r = \theta$.

e. Calcular lim_{x->0} (1 - sin x)^{1/x}

Solución: $e^{-1}$

f.1. Hallar una función elemental tal que f_1(f_1(x)) = x^2

Solución: $f_1(x) = x^{\sqrt{2}}$

f.2. Hallar una función elemental tal que f_2(f_2(x)) = 10x + 2

Solución: $f_2(x) = \sqrt{10}x + \frac{2}{\sqrt{10}+1}$