Problema 3 (Final 15 Ene 2016) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

a)

[0,8 puntos] Obtenga la serie de Taylor de f(t)=et2−1tf(t) = \frac{e^{t^2}-1}{t} y determine su intervalo de convergencia.

b)

[0,7 puntos] Deduzca el desarrollo en serie de Taylor de:g(x)=∫0xet2−1t dt.g(x) = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{e^{t^2}-1}{t}\,dt.

c)

[1 punto] Calcule el límite:lim⁡x→0+2g(x)−xx2.\lim_{x \to 0^+} \frac{2g(x) - x}{x^2}.

Enunciado: Problema 3 (Final 15 Ene 2016) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Obtenga la serie de Taylor de f(t) = (e^{t^2}-1)/t y determine su intervalo de convergencia.

Solución: t + t^3/2 + t^5/6

b) Deduzca el desarrollo en serie de Taylor de: g(x) = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{e^{t^2}-1}{t}\,dt.

Solución: x/2 + x^2/8

c) Calcule el límite: lim_{x -> 0^+} (2g(x) - x)/x^2.

Solución: 1/4

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