Problema 36 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1) (2016)

Enunciado

36 Mayo 2009 - Problema 2. Extremos absolutos con multiplicadores de Lagrange

Se considera la función f(x,y)=x2+4y2−2x−4yf(x, y) = x^2 + 4y^2 - 2x - 4y sobre la región del plano R={(x,y)∈R2:x2+4y2≤4}R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + 4y^2 \le 4\}.

a.

Representar la región RR e identificar su frontera.

b.

Hallar, si es posible, los extremos absolutos de f(x,y)f(x, y) en la región RR.

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Enunciado: Problema 36 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Representar la región RR

Solución: La región RR es el recinto elíptico cerrado y acotado centrado en el origen con semiejes a=2a = 2 (horizontal) y b=1b = 1 (vertical), incluyendo su interior y su borde.

a. Identificar su frontera (ecuación):

Solución: x2+4y2=4x^2 + 4y^2 = 4 / x24+y2=1\frac{x^2}{4} + y^2 = 1

b. Abscisa xx del punto crítico interior:

Solución: 1

b. Ordenada yy del punto crítico interior:

Solución: 1/21/2 / 0,50{,}5

b. Valor del mínimo absoluto:

Solución: -2

b. Abscisa xx del punto del máximo absoluto:

Solución: −2-\sqrt{2}

b. Ordenada yy del punto del máximo absoluto:

Solución: −2/2-\sqrt{2}/2

b. Valor del máximo absoluto:

Solución: 4(1+2)4(1 + \sqrt{2}) / 4+424 + 4\sqrt{2}

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