Ejercicio 57. Examen 6 - Ejercicio 5. Límite puntual y conv… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

a. Hallar el límite puntual f(x) para |x| < 1

Solución: $1$

a. Hallar el límite puntual f(x) para |x| = 1

Solución: $1/2$

a. Hallar el límite puntual f(x) para |x| > 1

Solución: $0$

b. Estudiar si la sucesión converge uniformemente en el intervalo [0, 2] (¿Sí / No?)

Solución: No

b. Justificación de si converge uniformemente en [0, 2]

Solución: En el intervalo $[0, 2]$, cada función $f_n(x)$ es continua. Sin embargo, la función límite puntual $f(x)$ es discontinua en $x = 1 \in [0, 2]$ (los límites laterales son $\lim_{x\to 1^-} f(x) = 1 \neq f(1) = 1/2 \neq \lim_{x\to 1^+} f(x) = 0$). Puesto que el límite uniforme de funciones continuas debe ser continuo, la convergencia no es uniforme en $[0, 2]$.