Ejercicio 16 - Problema 1 (Mayo 2009): Continuidad multivar… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

16. Problema 1 (Mayo 2009): Continuidad multivariable y gradiente

Se define la función escalar de dos variables:

$$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x + y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

a.

Estudie la continuidad de $f$ en $\mathbb{R}^2$. ¿Es $f$ continua en $(0,0)$?

b.

Calcule, si existen, sus derivadas parciales en el origen. ¿Existen las derivadas parciales en $(0,0)$?

c.

Obtenga el gradiente de $g(x, y, z) = \log(e^x + e^y + e^z)$ y la derivada direccional en la dirección unitaria $\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.