Ejercicio 16. Third Test (November 2008). Potencial de Mors… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Enunciado

16 Third Test (November 2008). Potencial de Morse, Taylor y series factoriales

a.

Considerar el potencial físico de Morse:

V(x)=K[(1−e−b(x−a))2−1]V(x) = K \left[ (1 - e^{-b(x-a)})^2 - 1 \right]

Asumiendo parámetros positivos K,a,b>0K, a, b > 0, representar gráficamente la función e interpretar el significado físico de cada constante.

b.

1. Calcular una aproximación de log⁡2\log 2 mediante el polinomio de Taylor de tercer orden de log⁡x\log x centrado en x=1x = 1 y compararlo con la aproximación lineal.

2. Calcular la suma exacta de la serie ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} e indicar si converge absolutamente.

c.

Estudiar la convergencia de la serie:

∑n=1∞nn3nn!\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{3^n n!}

d.

Calcular la suma de la serie infinita:

π−π33!+π55!−π77!+…\pi - \frac{\pi^3}{3!} + \frac{\pi^5}{5!} - \frac{\pi^7}{7!} + \dots

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Asumiendo parámetros positivos K, a, b > 0, representar gráficamente la función

Solución: Curva asimétrica de potencial con un mínimo absoluto en (a,−K)(a, -K). Cuando x→+∞x \to +\infty, V(x)→0V(x) \to 0. Para x<ax < a, V(x)V(x) crece muy rápidamente hacia +∞+\infty debido a la repulsión nuclear.

a. Interpretar el significado físico de cada constante.

Solución: aa: distancia de equilibrio interatómico; KK: profundidad del pozo de potencial (o energía de disociación); bb: constante que controla la curvatura del pozo y la rigidez del enlace.

b. 1. Calcular una aproximación de log 2 mediante el polinomio de Taylor de tercer orden de log x centrado en x = 1

Solución: 5/6

b. 1. y compararlo con la aproximación lineal.

Solución: 1

b. 2. Calcular la suma exacta de la serie sum_{n=1}^infty (-1)^{n+1}/n

Solución: log⁡2\log 2

b. 2. e indicar si converge absolutamente.

Solución: No converge absolutamente (converge condicionalmente).

c. Estudiar la convergencia de la serie: sum_{n=1}^infty n^n / (3^n n!)

Solución: Converge

c. Demostración / criterio aplicado

Solución: Criterio del cociente: lim a_{n+1}/a_n = e/3 < 1, por lo que la serie converge.

d. Calcular la suma de la serie infinita: pi - pi^3/3! + pi^5/5! - pi^7/7! + ...

Solución: 0

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