Ejercicio 4 - Problema 2 (Enero 2015): Estudio completo y g… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudio analítico de f(x) = (2 + x^2)e^{-x^2}

Solución: Dominio: $\mathbb{R}$. Asíntota horizontal: $y = 0$ en $\pm\infty$. Creciente en $(-\infty, 0)$, decreciente en $(0, +\infty)$. Máximo absoluto en $(0, 2)$. Puntos de inflexión en $(-1, 3/e)$ y $(1, 3/e)$.

Trace un esbozo de su gráfica.

Solución: Gráfica simétrica respecto al eje vertical, en forma de campana: parte de $y \to 0$ en $-\infty$, sube con convexidad hasta el punto de inflexión $(-1, 3/e)$, pasa a ser cóncava hasta alcanzar el máximo en $(0, 2)$, desciende cóncava hasta el segundo punto de inflexión $(1, 3/e)$, y continúa siendo convexa aproximándose asintóticamente a $y = 0$ cuando $x \to +\infty$.