Ejercicio 8. Examen Final 8. Infinitésimos, raíces de funci… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a) Límite cuando $x \to 0$ de $\frac{\arctan(\sin x) - x}{\log(1 + x^3)}$

Solución: -1/2

a) Límite cuando $x \to +\infty$ de $\frac{\arctan(\sin x) - x}{\log(1 + x^3)}$

Solución: -\infty

b) Sea $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$. Determinar sus intervalos de monotonía y probar que existe un único $c \in (3/5, 4/5)$ tal que $f(c) = 2/3$.

Solución: Decrece en $(-1, 0)$ y crece en $(0, 1)$. Raíz única $c \in (3/5, 4/5)$ por el teorema de Bolzano y monotonía estricta.

c) Determinar los valores de $a \in \mathbb{R}$ para los que converge la serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n-2}}{a^n}$

Solución: |a| > 2

c) Hallar el valor de $a$ cuando la suma de la serie vale $1/3$

Solución: 3

d) Ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = \int_1^x e^{4\arctan t}\,dt$ en $x = 1$

Solución: y = e^\pi (x - 1)

d) Calcular $(f^{-1})'(0)$

Solución: e^{-\pi}

e) Estudiar la convergencia de la integral impropia $\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^4-1}}$

Solución: converge

f) Calcular el área encerrada entre la curva $y = \sin x$ y $y = \sin(x - \pi/3)$ en una de sus regiones fundamentales

Solución: 2