Problema 45 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

a) Estudio detallado de $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4}{x - 3}$

Solución: Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Asíntota vertical en $x = 3$. Asíntota oblicua $y = 2x + 4$. Máximo local en $(1, 2)$ y mínimo local en $(5, 18)$. Cóncava hacia abajo en $(-\infty, 3)$ y convexa hacia arriba en $(3, \infty)$.

b) Estudio detallado de $g(x) = \frac{e^x}{x - 1}$

Solución: Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Asíntota vertical en $x = 1$. Asíntota horizontal en $-\infty$ ($y = 0$). Rama parabólica en $+\infty$. Mínimo local en $(2, e^2)$. Cóncava en $(-\infty, 1)$ y convexa en $(1, \infty)$.

Dibujo de las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$

Solución: Gráfica superior: $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4}{x - 3}$, mostrando la asíntota vertical en $x = 3$, la asíntota oblicua $y = 2x + 4$, el máximo relativo en $(1, 2)$ y el mínimo en $(5, 18)$. Gráfica inferior: $g(x) = \frac{e^x}{x - 1}$, mostrando la asíntota vertical en $x = 1$, la asíntota horizontal $y = 0$ a la izquierda, y el mínimo local en $(2, e^2) \approx (2, 7{,}39)$.