Ejercicio 10. Examen Final 10. Continuidad, regla de la cad… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. 1. Calcular f'(x) para x ≠ 0

Solución: $$\frac{2}{x(1+(\log x^2)^2)}$$

a. 4. Hallar lim_{x -> +inf} f(x)

Solución: $$\pi/2$$

b. Determinar el número exacto de raíces de f(x) = e^{sin x} - x - 1 en [pi/2, pi]

Solución: 1

c. Valor de F(1)

Solución: 0

c. Valor de F'(1)

Solución: $$-e^{-1}$$

c. Valor de (F o F)'(1)

Solución: $$-2e^{-2}$$

c. Comparar F(0) y F(1)

Solución: <

d. Calcular la integral int_0^{pi/2} sin^5 x dx

Solución: $$8/15$$

e. Determinar los puntos de convergencia de sum_{n=1}^inf 2^n / sqrt{n^3+1} * (x-1)^n

Solución: $$[1/2, 3/2]$$

f. Calcular lim_{x -> 0} (sqrt(1-x^2) - cos x) / x^4

Solución: $$-1/6$$

g. 1. Punto x del mínimo absoluto de f_n en [0, +inf)

Solución: 0

g. 1. Punto x del máximo absoluto de f_n en [0, +inf)

Solución: $$1/n$$

g. 1. Valor del máximo absoluto de f_n en [0, +inf)

Solución: $$\frac{1}{e n^2}$$

Valor del máximo absoluto:

Solución: 1/(e*n^2) / e^(-1)/n^2

a. 2. Estudiar si f es continua y derivable en x = 0

Solución: Continua: Sí. Derivable: No.

g. 2. Estudiar la convergencia uniforme en [0, +inf) de sum f_n(x)

Solución: Sí, converge uniformemente.

h. Estudiar la convergencia de int_0^inf log(1+x) / x^{3/2} dx

Solución: Sí, es convergente.