Ejercicio 65 - Examen 7 - Ejercicio 4: Análisis de función… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Enunciado

65 Examen 7 - Ejercicio 4: Análisis de función integral constante

Sea la función definida para x≠0x \neq 0 por:

F(x)=∫01/xdt1+t2+∫0xdt1+t2F(x) = \int_{0}^{1/x} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} + \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2}

Demuestra que:

F(x)={−π2si x<0π2si x>0F(x) = \begin{cases} -\frac{\pi}{2} & \text{si } x < 0 \\[2ex] \frac{\pi}{2} & \text{si } x > 0 \end{cases}

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

1. Escribe el valor de la derivada F′(x)F'(x) para todo x≠0x \neq 0:

Solución: 0

2. Justificación analítica de la demostración: desarrolla el cálculo de la derivada y la evaluación en puntos representativos para deducir la expresión a trozos de F(x)F(x):

Solución: Como F′(x)=0F'(x) = 0 en (−∞,0)(-\infty, 0) y en (0,+∞)(0, +\infty), FF es constante en cada rama. Con F(1)=2arctan⁡(1)=π/2F(1) = 2\arctan(1) = \pi/2 y F(−1)=2arctan⁡(−1)=−π/2F(-1) = 2\arctan(-1) = -\pi/2, queda demostrada la expresión.

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