Problema 1 (4 Feb 2004) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

Problema 1 (4 Feb 2004). Función periódica y límite de incrementos (2 puntos)

[1 punto] Considérese una función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ periódica con periodo $T$ . Verifique que la función

$F(x) = \int_{x}^{x+T} f(t)\,dt$

toma un valor constante con independencia de $x$ .

[1 punto] Sea $f$ diferenciable en $\mathbb{R}$ con $\lim_{x\to\infty} f'(x) = 0$ y fijado $c \in \mathbb{R}$ . Justifique si existe y determine el valor de:

$\lim_{x\to\infty} [f(x+c) - f(x)].$

Enunciado: Problema 1 (4 Feb 2004) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1 punto) Considérese una función continua f: R -> R periódica con periodo T. Verifique que la función F(x) = \int_x^{x+T} f(t) dt toma un valor constante con independencia de x.

Solución: F'(x) = 0 para todo x, luego F(x) es constante

b. (1 punto) Sea f diferenciable en R con lim_{x->\infty} f'(x) = 0 y fijado c en R. Determine el valor de: lim_{x->\infty} [f(x+c) - f(x)].

Solución: 0

b. (1 punto) Justifique si existe y determine el valor de: lim_{x->\infty} [f(x+c) - f(x)].

Solución: Aplicando el Teorema del Valor Medio de Lagrange: f(x+c) - f(x) = f'(\xi_x) · c

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Solución

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