Ejercicio 7. Examen Final 7. Tangentes, áreas máximas, seri… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. Determinar los puntos de la gráfica de $f(x) = e^{x^2 - x}$ cuya recta tangente pasa por el origen de coordenadas.

Solución: $(1, 1)$ y $(-1/2, e^{3/4})$

b. Calcular las dimensiones de un rectángulo con lados paralelos a los ejes, situado en el primer cuadrante, con un vértice en el origen y el opuesto sobre la curva $f(x) = [x^3 + 4]^{-1/2}$.

Solución: $x = 2$, $y = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

b. Calcular el área máxima del rectángulo.

Solución: $\frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

c. Determinar todos los $c \in \mathbb{R}$ para los que converge la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{(2c-1)^{n^2}}{n+1}$.

Solución: $[0, 1)$

d. 1. Calcular $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-(x^2+\frac{1}{2}x^4)}{x^6}$ para $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.

Solución: $3/8$

d. 2. Calcular la integral $\int_0^{1/2} f(x)\,dx$ para $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.

Solución: $\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

e. Estudiar el crecimiento, decrecimiento y número de raíces en $[0, +\infty)$ de la función $f(x) = \int_0^{x^2} e^{t^2}\,dt - e^{x^4}$.

Solución: 0 raíces (la función no se anula en $[0, +\infty)$)

f. Analizar la convergencia de la integral impropia paramétrica $\int_0^\infty \frac{1-e^{-x}}{x^a}\,dx$ según los valores de $a \in \mathbb{R}$.

Solución: $1 < a < 2$ (o $a \in (1, 2)$)