Ejercicio 11. Examen Final 11. Problemas integrales globale… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a) Hallar, si existe, el límite de la sucesión $a_n = n e^{\cos n} \sin(1/n^2)$.

Solución: $0$

b) Determinar el número de raíces de $f(x) = \log |x + 1/2| + x$ en $[0, +\infty)$.

Solución: $1$

c) Dominio de $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}$.

Solución: $(-2, 2)$

c) Abscisa del punto de inflexión de $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}$.

Solución: $-3 + \sqrt{7}$

d) Punto donde se alcanza el mínimo absoluto de $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$ en $[0, 2]$.

Solución: $0$

d) Punto donde se alcanza el máximo absoluto de $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$ en $[0, 2]$.

Solución: $3/2$

e) Calcular el área de la región acotada por los ejes y la gráfica de $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$.

Solución: $\frac{2}{\sqrt{e}} - 1$

e) Discutir la convergencia de $\int_1^\infty f(x)\,dx$.

Solución: convergente

f) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x - \arctan x}{\log(1 + x^3)}$.

Solución: $-1/3$

g.1) Estudiar la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n^{100}}{(n-1)!}$.

Solución: convergente

g.2) Estudiar la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{7 - \sin n}{\sqrt{n^3 + n}}$.

Solución: convergente

h) Hallar $F'(3\pi/2)$ para $F(x) = \int_{\sin x}^1 \frac{\arctan t}{1 + t^4}\,dt$.

Solución: $0$

h) Hallar $F(3\pi/2)$ para $F(x) = \int_{\sin x}^1 \frac{\arctan t}{1 + t^4}\,dt$.

Solución: $0$

i) Calcular la integral $\int_0^1 \frac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$.

Solución: $2 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$